- Ультраметрическое пространство
-
Ультраметрическое пространство — особый случай метрического пространства, в котором метрика удовлетворяет усиленному неравенству треугольника:
Такую метрику называют ультраметрикой. Проще говоря, в ультраметрическом пространстве нельзя получить большее расстояние, складывая меньшие.
Определение
Ультраметрическое пространство — это пара
, где
— множество, а
— вещественнозначная функция на нём, также называемая метрикой, удовлетворяющая следующим условиям:
(положительная определённость)
(симметричность)
(сильное неравенство треугольника)
Ультраметрическое пространство отличается от метрического тем, что неравенство треугольника заменено на усиленное неравенство треугольника.
Свойства
- Всякий треугольник является равнобедренным, причём если не все его стороны равны, то одна — короче, чем две других.
- Всякая точка шара является его центром.
- Если два шара имеют общую точку, то либо они совпадают, либо один целиком содержит другой.
- Топология ультраметрического пространства является вполне разрывной.
Примеры
- Дискретная метрика (то есть расстояние между двумя точками равно 0, если они совпадают, и 1 если не совпадают) является ультраметрикой.
- Метрика на
такая, что
при
, и
.
- Множество слов произвольной длины некоторого алфавита
с ультраметрикой, заданной как
, где
— номер первого символа, различного в словах
и
.
- p-адические числа образуют ультраметрическое пространство с естественной ультраметрикой.
- Модели, наделённые естественной ультраметрикой, возникают в теории информации при исследовании последовательностей символов и в физике твёрдого тела при изучении спиновых стёкол.
Категории:- Метрическая геометрия
- Топологические пространства
Wikimedia Foundation. 2010.