p-АДИЧЕСКОЕ ЧИСЛО

- элемент расширения поля рациональных чисел, получаемого на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число р.

Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно неархимедова нормирования (см. Абсолютное значение).

Целым р-адическим числом для произвольного простого рназ. последовательность вычетов удовлетворяющих условию

Сложение и умножение целых р-А. ч. определяется формулами

Каждое целое число тотождествляется с р-А. ч. х= (m, т, ...). Относительно сложения и умножения целые р-А. ч. образуют кольцо, к-рое содержит кольцо целых чисел. Кольцо целых р-А. ч. может быть также определено как проективный предел

колец вычетов по mod р ⁿ (относительно естественных проекций).

р-адическим числом, или рациональным р-адическим числом, наз. элемент поля отношений кольца целых р-А. ч. Это поле наз. полем р-адических чисел и содержит поле рациональных чисел в качестве подполя. Как кольцо, так и поле р-А. ч. наделяются естественной топологией. Эта топология может быть определена метрикой, связанной с р-адической нормой, т. е. с функцией от р-А. ч. х, определяемой следующим образом. Если то ходнозначно представимо в виде где а - обратимый элемент кольца целых р-А. ч. Тогда р-адическая норма равна Если x=0, то Определяя сначала только на рациональных числах, можно получить поле р-А. ч. как пополнение поля рациональных чисел.

Каждый элемент поля р-А. ч. может быть представлен в виде

где - целые, - нек-рое целое число, и ряд (*) сходится в метрике поля Q_p. Числа с условием (т. е. с ) образуют кольцо Z_p целых р-А. ч., являющееся пополнением кольца целых чисел поля Q. Числа с условием образуют мультипликативную группу и наз. р - адическими единицами. Совокупность чисел с условием является главным идеалом в Z_p с образующим элементом р. Кольцо является полным кольцом дискретного нормирования. Поле локально компактно в топологии, индуцируемой метрикой Поэтому в нем существует инвариантная мера m, подчиняемая обычно условию Для различных рнормирования независимы, а поля неизоморфны. Многие факты и понятия классического анализа переносятся на случай р-адических полей.

р-А. ч. связаны с решением диофантовых уравнений по модулю возрастающей степени простого числа. Так, если - многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех сравнения

эквивалентна разрешимости уравнения в целых р-А. ч. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях р-А. ч. при всех р. Такой подход к решению

диофантовых уравнений и, в частности, выяснение вопроса о достаточности этих условий, наз. локальными условиями, составляет важную часть современной теории чисел (см. Диофантова геометрия). Упомянутое выше свойство разрешимости в одном частном случае может быть заменено более простым. Именно, если

имеет решение и это решение определяет неособую точку гиперповерхности где - многочлен взятый по то данное уравнение имеет решение в целых р-А. ч., сравнимое Это утверждение, известное под назв. Гензеля леммы, является частным случаем более общего факта, относящегося к теории схем.

Кольцо целых р-А. ч. может рассматриваться как часть более общей конструкции колец Витта W(A). Кольцо целых р-А. ч. получается в том случае, когда - конечное поле из рэлементов (см. Витта век-mop). Другим обобщением р-А. ч. являются -адические числа, возникающие при пополнении полей алгебраич. чисел относительно неархимедовых нормировании, связанных с простыми дивизорами.

р-А. ч. были введены К. Гензелем (см. [1]). Существующее для них канонич. представление является аналогом разложения аналитич. функций в степенной ряд. Это есть одно из проявлений аналогии между алгебраич. числами и алгебраич. функциями.

Лит.:[1] Неnsе1. К., "Jahresber. Dtsch. Math. Ver.", 1899, Bd 6, H. 1, S. 83-8; [2] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [3] Ленг С., Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966; [4] Вейль Г., Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1947; [5] Нassе Н., Zahlentheorie, 2 Aufl., В., 1963; [6] Вейль А., Основы теории чисел, пер. с англ., М., 1972; [7] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971.

Л. Н. Паршин, В. Г. Спринджук.