Аксиома пустого множества

Аксиома пустого множества

Аксиомой [существования] пустого множества называется следующее высказывание теории множеств

~ \exist a \forall b \ (b \notin a)

Аксиома пустого множества провозглашает существование по меньшей мере одного пустого множества, то есть множества, не содержащего ни одного элемента. Пустое множество является своим подмножеством, но не является своим элементом.

Другие формулировки аксиомы пустого множества

~ \neg \ (\forall a \exist b \ (b \in a))

~ \exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow b \ne b), что есть ~ \exist a \ (a = \{b: \ b \ne b\})

~ \exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow b \in b), что есть ~ \exist a \ (a = \{b: \ b \in b\})

~ \exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow a \in b), что есть ~ \exist a \ (a = \{b: \ a \in b\})

~ \exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow b \not \subset b), что есть ~ \exist a \ (a = \{b: \ b \not \subset b\})

~ \exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow b \subsetneq b), что есть ~ \exist a \ (a = \{b: \ b \subsetneq b\})

~ \exist a \forall b \ (b \in a \leftrightarrow \Phi[b] \ \land \ \neg \Phi[b]), что есть \exist a \ (a = \{b: \ \Phi[b] \ \land \ \neg \Phi[b]\})

~ \cdots

Примечания

1. Аксиому пустого множества можно вывести из следующей совокупности высказываний:

  • ~ \forall a \forall b \ (b = b \to (b \notin a \to b = b) \ ),
  • ~ \forall b \ (b = b),
  • ~ \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b \ne b).

Кроме того, аксиому пустого множества можно вывести из аксиомы бесконечности, представленной в следующем виде:

  • ~ \exist a \ (\exist a_\varnothing \ (a_\varnothing \in a \ \land \ \forall b \ (b \notin a_\varnothing)) \quad \land \quad \forall b \ (b \in a \to \exist c \ (c \in a \ \land \ \forall d \ (d \in c \leftrightarrow d \in b \ \lor \ d = b))))

2. Руководствуясь аксиомой объёмности, можно доказать единственность пустого множества. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома пустого множества равносильна высказыванию

~ \exists ! a \forall b \ (b \notin a), что есть ~ \exist a \forall b \ (b \notin a) \quad \land \quad \forall a \forall a' \ (\forall b \ (b \notin a') \ \land \ \forall b \ (b \notin a) \to a' = a)


Единственность пустого множества не противоречит «бесконечной множественности» описаний пустого множества, включая следующие описания:

  • ~ \varnothing = \{b: b \in \mathbb{R} \land 0 \cdot b = 1\},
  • ~ \varnothing = \{b: b \in \mathbb{N} \land 1 - 2 = b\},
  • ~ \varnothing = \{b: b \in \mathbb{Z} \land 2 \cdot b = 1\},
  • ~ \varnothing = \{b: b \in \mathbb{Q} \land b = \sqrt{2}\}.
  • ~ \varnothing = \{b: b \in \mathbb{R} \land b^2 = -1\}

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Аксиома пустого множества" в других словарях:

  • Аксиома выбора — Аксиомой выбора называется следующее высказывание теории множеств: «Для каждого семейства непустых непересекающихся множеств существует (по меньшей мере одно) множество , которое имеет только один общий элемент c каждым из множеств данного… …   Википедия

  • Аксиома объёмности — Аксиомой объёмности называется следующее высказывание теории множеств: Если переписать аксиому объёмности в виде , тогда названную аксиому можно сформулировать по русски: Каковы бы ни были два множества, если каждый элемент 1 го множества… …   Википедия

  • Мера множества — У этого термина существуют и другие значения, см. Мера. Мера множества  неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому… …   Википедия

  • Аксиоматика теории множеств — Сюда перенаправляется запрос «Теория Цермело Френкеля». На эту тему нужна отдельная статья. Современная теория множеств строится на системе аксиом  утверждений, принимаемых без доказательства,  из которых выводятся все теоремы и у …   Википедия

  • ZFC — Современная теория множеств строится на системе аксиом утверждений, принимаемых без доказательства, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств. Система аксиом Цермело Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для… …   Википедия

  • Пустое множество — Обозначение пустого множества Пустое множество (в математике)  множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойс …   Википедия

  • Непустое множество — Пустым множеством в математике называется множество, не содержащее ни одного элемента. В одних теориях множеств существование [по меньшей мере одного] пустого множества провозглашается (см. аксиому пустого множества), в других  доказывается. Во… …   Википедия

  • — Пустым множеством в математике называется множество, не содержащее ни одного элемента. В одних теориях множеств существование [по меньшей мере одного] пустого множества провозглашается (см. аксиому пустого множества), в других  доказывается. Во… …   Википедия

  • Аксиоматика Колмогорова — Аксиоматика Колмогорова  общепринятый аксиоматический метод при математическом описании событий и вероятностей; предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым[1][2] в 1929, окончательно в 1933; придал теории вероятностей стиль, принятый в… …   Википедия

  • Колмогоровская аксиоматика — Аксиоматика Колмогорова общепринятый аксиоматический подход к математическому описанию события и вероятности; предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым[1][2] в 1929, окончательно в 1933; придал теории вероятностей стиль, принятый в современной… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»