- Аксиома объёмности
-
Аксиомой объёмности называется следующее высказывание теории множеств:
Если переписать аксиому объёмности в виде
,
тогда названную аксиому можно сформулировать по-русски:
- "Каковы бы ни были два множества, если каждый элемент 1-го множества принадлежит 2-му множеству, а каждый элемент 2-го множества принадлежит 1-му множеству, тогда первое множество идентично второму множеству."
Содержание
Другие формулировки аксиомы объёмности
Примечания
Аксиома объёмности выражает необходимое условие равенства двух множеств. Достаточное условие равенства множеств выводится из аксиом предиката
, а именно:
,
, где
— любое математически корректное суждение об
, а
— то же самое суждение, но об
.
Соединяя указанное достаточное условие равенства множеств с аксиомой объёмности, получаем следующий критерий равенства множеств:
Указанный критерий равенства множеств не хуже и не лучше других аналогичных критериев, включая:
1) критерий равенства комплексных чисел
,
2) критерий равенства упорядоченных пар
,
3) критерий равенства неупорядоченных пар
,
4) критерий равенства двух последовательностей
.
Из изложенного ясно, что аксиома объёмности является органичной частью аксиоматики теории множеств.
Аксиому объёмности применяют при доказательстве единственности множества, существование которого уже декларировано [аксиомой} либо установлено [доказательством теоремы].Примеры
1. Доказательство единственности пустого множества
Cуществование [по меньшей мере одного] пустого множества декларировано аксиомой
.
Требуется доказать существование не более, чем одного множества
, для которого верно высказывание
.
Иначе говоря, требуется доказать
Или, что то же самое, требуется доказать
Доказательство
Поскольку
, постольку доказательство единственности пустого множества завершено.
2. Доказательство единственности множества подмножеств
Существование [по меньшей мере одного] множества подмножеств декларировано аксиомой
Требуется доказать существование не более, чем одного множества
, для которого верно высказывание
Иначе говоря, требуется доказать
Или, что то же самое, требуется доказать
Доказательство
Поскольку
, постольку доказательство единственности множества подмножеств завершено.
См. также
Литература
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей.
- Викифицировать статью.
Категория:- Теория множеств
Wikimedia Foundation. 2010.
Смотреть что такое "Аксиома объёмности" в других словарях:
ОБЪЁМНОСТИ ПРИНЦИП — или принцип экстенсиональности (от лат. extentio протяжение) один из главных принципов, лежащих в основе теории множеств: два множества (или класса), состоящие из одних и тех же элементов (т.е. имеющие один и тот же объем), равны (совпадают). При … Философская энциклопедия
Аксиома — В Викисловаре есть статья «аксиома» Аксиома (др. греч … Википедия
Аксиома выбора — Аксиомой выбора называется следующее высказывание теории множеств: «Для каждого семейства непустых непересекающихся множеств существует (по меньшей мере одно) множество , которое имеет только один общий элемент c каждым из множеств данного… … Википедия
Аксиома булеана — Аксиома существования булеана (аксиома множества подмножеств) формулируется так: «из любого множества можно образовать булеан, то есть такое множество , которое состоит из всех собственных и несобственных подмножеств данного множества ». Согласно … Википедия
Аксиома объединения — Аксиомой объединения называется следующее высказывание теории множеств: Аксиому объединения можно сформулировать по русски, а именно: Из любого семейства множеств можно образовать как минимум одно такое множество , каждый элемент которого… … Википедия
Аксиома пустого множества — Аксиомой [существования] пустого множества называется следующее высказывание теории множеств Аксиома пустого множества провозглашает существование по меньшей мере одного пустого множества, то есть множества, не содержащего ни одного элемента.… … Википедия
Аксиома пары — Аксиомой [существования неупорядоченной] пары называется следующее высказывание теории множеств: Аксиому пары можно сформулировать по русски, а именно: «Из любых двух [одинаковых или разных] множеств можно образовать [по меньшей мере одну]… … Википедия
Аксиоматика теории множеств — Сюда перенаправляется запрос «Теория Цермело Френкеля». На эту тему нужна отдельная статья. Современная теория множеств строится на системе аксиом утверждений, принимаемых без доказательства, из которых выводятся все теоремы и у … Википедия
ZFC — Современная теория множеств строится на системе аксиом утверждений, принимаемых без доказательства, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств. Система аксиом Цермело Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для… … Википедия
Аксиоматическая теория множеств — формулировка множеств теории (См. Множеств теория) в виде формальной (аксиоматической) системы (см. Аксиоматический метод). Основным побудительным стимулом для построения А. т. м. явилось открытие в «наивной» теории множеств Г. Кантора.… … Большая советская энциклопедия