Повторный предел

Для функции нескольких переменных $f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)$ можно определить понятие предела по одной из переменных $\ {{x}_{k}}$ при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предела.

Определение

Рассмотрим функцию двух переменных $f\left( x,y \right)$, определенную в некоторой выколотой окрестности точки $\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$. Выберем и зафиксируем переменную $x$. Получим функцию как бы одной переменной. Рассмотрим предел:

$\varphi \left( x \right)=\underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x,y \right)$

Будем считать, что $\varphi \left( x \right)$ существует. Теперь снимем фиксацию с переменной $x$ и рассмотрим следующий предел:

$A=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\varphi \left( x \right)$

Если этот предел существует, то говорят, что $A$ есть повторный предел функции $f\left( x,y \right)$ в точке $\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$.

$A=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x,y \right)$

Аналогично мы можем фиксировать сначала переменную $y$. В этом случае мы также получим повторный предел, но, вообще говоря, другой:

$B=\underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x,y \right)$

Это определение можно распространить и на функции нескольких переменных $f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)$.

Равенство повторных пределов

Пусть функция $f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)$, определена в выколотой окрестности точки ${{X}^{0}}=\left( x_{1}^{0},\ldots ,x_{d}^{0} \right)$ и имеет в этой точке предел (обычный). Тогда любой повторный предел в точке $\ {{X}^{0}}$ существует и равен обычному пределу этой функции в этой же точке.

В обратную сторону утверждение, вообще говоря, неверно.

См. также

• Предел функции

Литература

• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 14. Функции нескольких переменных // Основы математического анализа. — 4. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 648 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0536-1