- Правило Лопиталя
-
Правило Бернулли[1]-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида
и
. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Содержание
Точная формулировка
Условия:
или
;
и
дифференцируемы в проколотой окрестности
;
в проколотой окрестности
;
- существует
,
тогда существует
.
Пределы также могут быть односторонними.
История
Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.[2]
Доказательство
Отношение бесконечно малых
Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида
.
Поскольку мы рассматриваем функции
и
только в правой проколотой полуокрестности точки
, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть
. Возьмём некоторый
из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку
теорему Коши. По этой теореме получим:
,
но
, поэтому
.
Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через
, из полученного равенства выводим:
для конечного предела и
для бесконечного,
что является определением предела отношения функций.
Отношение бесконечно больших
Докажем теорему для неопределённостей вида
.
Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен
. Тогда, при стремлении
к
справа, это отношение можно записать как
, где
— O(1). Запишем это условие:
.
Зафиксируем
из отрезка
и применим теорему Коши ко всем
из отрезка
:
, что можно привести к следующему виду:
.
Для
, достаточно близких к
, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как
и
— константы, а
и
стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен
, где
— бесконечно малая функция при стремлении
к
справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение
, что и в определении для
:
.
Получили, что отношение функций представимо в виде
, и
. По любому данному
можно найти такое
, чтобы модуль разности отношения функций и
был меньше
, значит, предел отношения функций действительно равен
.
Если же предел
бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
.
В определении
будем брать
; первый множитель правой части будет больше 1/2 при
, достаточно близких к
, а тогда
.
Для других баз доказательства аналогичны приведённым.
Примеры
Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Нужно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае). В этом примере получается:
;
при
.
В искусстве
...и рассказывали анекдоты о раскрытии неопределенностей методом Лопиталя
Братья Стругацкие, «Понедельник начинается в субботу».
Примечания
- ↑ http://lib.mexmat.ru/pr/matan_gavr_1.pdf
- ↑ Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of
, p.216
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категории:- Математический анализ
- Теоремы
- Доказательства
- Пределы
Wikimedia Foundation. 2010.