Чисел теория

Тео́рия чи́сел, или высшая арифметика, — раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В зависимости от используемых методов теорию чисел подразделяют на несколько подтеорий.

Элементарная теория чисел

В элементарной теории чисел, целые чи́сла изучаются без использования методов других разделов математики. Такие вопросы, как делимость целых чисел, алгоритм Евклида вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, разложение числа́ на простые множители, построение магических квадратов, совершенные чи́сла, числа Фибоначчи, малая теорема Ферма́, теорема Эйлера, задача о четырёх кубах относятся к этому разделу.

Аналитическая теория чисел

В аналитической теории чисел для вывода и доказательства утверждений о числах и числовых функциях используется мощный аппарат математического анализа. Большую роль в аналитической теории чисел играет метод тригонометрических сумм, позволяющий оценивать число решений тех или иных уравнений или систем уравнений в целых числах. Основы метода тригонометрических сумм разработал и впервые применил к задачам теории чисел И. М. Виноградов.

Первым успехом аналитической теории чисел было применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел.

Наиболее известной и до сих пор не решенной проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, что все нетривиальные корни уравнения ζ(s) = 0 лежат на так называемой критической прямой $\mathrm{Re}\,s = \frac{1}{2}$, где ζ(s) — дзета-функция Римана.

Алгебраическая теория чисел

В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни многочленов с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется закон единственности разложения на простые множители. Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как теорию дивизоров, теорию Галуа, теорию полей классов, дзета- и L-функции, когомологии групп и многое другое. Одним из основных приемов является вложение поля алгебраических чисел в свое пополнение по одной из метрик — архимедово, то есть вложение в поле вещественных или комплексных чисел, или неархимедово, то есть вложение в поле p-адических чисел.

Ссылки

• К. Айерлэнд, М. Роузен Классическое введение в современную теорию чисел = A Classical Introduction to Modern Number Theory. — М.: Мир, 1987.
• З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич Теория чисел. Москва, «Наука», 1972.
• И. М. Виноградов Основы теории чисел. — М.-Л.: Гостехиздат, 1952. — 180 с.
• С. В. Сизый, Лекции по теории чисел.
• А. Я. Хинчин Три жемчужины теории чисел. — М.: Наука, 1979. — 64 с.

Разделы математики

Теория множеств | Арифметика | Геометрия | Математический анализ | Дифференциальные уравнения | Алгебра | Теория чисел | Дискретная математика | Комплексный анализ | Функциональный анализ | Дифференциальные геометрия и топология | Топология | Математическая логика | Теория категорий | Линейная алгебра | Теория вероятностей | Математическая статистика