Чисел теория


Чисел теория

Тео́рия чи́сел, или высшая арифметика, — раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В зависимости от используемых методов теорию чисел подразделяют на несколько подтеорий.

Содержание

Элементарная теория чисел

В элементарной теории чисел, целые чи́сла изучаются без использования методов других разделов математики. Такие вопросы, как делимость целых чисел, алгоритм Евклида вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, разложение числа́ на простые множители, построение магических квадратов, совершенные чи́сла, числа Фибоначчи, малая теорема Ферма́, теорема Эйлера, задача о четырёх кубах относятся к этому разделу.

Аналитическая теория чисел

В аналитической теории чисел для вывода и доказательства утверждений о числах и числовых функциях используется мощный аппарат математического анализа. Большую роль в аналитической теории чисел играет метод тригонометрических сумм, позволяющий оценивать число решений тех или иных уравнений или систем уравнений в целых числах. Основы метода тригонометрических сумм разработал и впервые применил к задачам теории чисел И. М. Виноградов.

Первым успехом аналитической теории чисел было применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел.

Наиболее известной и до сих пор не решенной проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, что все нетривиальные корни уравнения ζ(s) = 0 лежат на так называемой критической прямой \mathrm{Re}\,s = \frac{1}{2}, где ζ(s)дзета-функция Римана.

Алгебраическая теория чисел

В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни многочленов с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется закон единственности разложения на простые множители. Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как теорию дивизоров, теорию Галуа, теорию полей классов, дзета- и L-функции, когомологии групп и многое другое. Одним из основных приемов является вложение поля алгебраических чисел в свое пополнение по одной из метрик — архимедово, то есть вложение в поле вещественных или комплексных чисел, или неархимедово, то есть вложение в поле p-адических чисел.

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Чисел теория" в других словарях:

  • ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ — часть математики, посвященная изучению свойств целых чисел и их обобщений (напр., целых алгебраических чисел). В теорию чисел входят теории сравнений, диофантовых уравнений, непрерывных дробей, диофантовых приближений, трансцендентных чисел …   Большой Энциклопедический словарь

  • чисел теория — часть математики, посвящённая изучению свойств целых чисел и их обобщений (например, целых алгебраических чисел). В теорию чисел входят теории сравнений, диофантовых уравнений, непрерывных дробей, диофантовых приближений, трансцендентных чисел. * …   Энциклопедический словарь

  • Чисел теория —         наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций.          Особое место среди целых чисел, т. е. чисел..., 3 …   Большая советская энциклопедия

  • ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ — раздел чистой математики, занимающийся изучением целых чисел 0, ±1, ±2,... и соотношений между ними. Иногда теорию чисел называют высшей арифметикой. Отдельные вычисления, производимые над конкретными числами, например, 9 + 16 = 25, не… …   Энциклопедия Кольера

  • ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ — вероятностная в широком смысле раздел теории чисел, в к ром используются идеи и методы теории вероятностей. Под вероятностной Ч. т. в узком смысле понимается статистич. теория распределения значений арифметических функций. Подавляющее большинство …   Математическая энциклопедия

  • Чисел теория — часть математического анализа, которая занимается решением неопределенных уравнений в целых Ч. В простейшем случае задача состоит в следующем. Найти целые значения для x и y, которые удовлетворяют уравнению: f (x,y)=0. Если f (x,y)=φ(x) ny, то… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ — наука о целых числах. Целое число, наряду с простейшими геометрич. фигурами, является первым и древнейшим математич. понятием. Ч. т. возникла из задач арифметики, связанных с умножением и делением целых чисел. В Древней Греции (6 в. до н. а.)… …   Математическая энциклопедия

  • ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ — часть математики, посв. изучению свойств целых чисел и их обобщений (напр., целых алгебр. чисел). В Ч. т. входят теории сравнений, диофантовых ур иий, непрерывных дробей, диофантовых приближений, трансцендентных чисел …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Теория чисел — Теория чисел, или высшая арифметика раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В теории чисел в широком смысле рассматриваются как алгебраические, так и трансцендентные числа, а также функции различного происхождения, которые… …   Википедия

  • Теория Рамсея — Теория Рамсея, названная в честь Франка Рамсея  раздел математики, изучающий условия, при которых в произвольно формируемых математических объектах обязан появиться некоторый порядок. Задачи в теории Рамсея обычно звучат в форме вопроса… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Чисел теория» >>