Когомология

Гомоло́гия — одно из основных понятий алгебраической топологии. Замкнутая линия гомологична нулю, если она ограничивает кусок поверхности, который отделяется от неё, если мы произведём разрез по этой линии. Например, на сфере любая замкнутая линия является таковой, а на торе, хотя и сущeствуют гомологичные нулю замкнутые линии, но разрез по меридиану или параллели не приведет к отделению куска поверхности. Ниже мы рассмотрим более общие и строгие определения этого понятия.

Симплициальные гомологии

Симплициальные гомологии определяются наиболее просто. Вначале определим некоторые понятия.

Симплексы и компле́ксы

Симплексом размерности k будем называть выпуклую оболочку точек $\langle a_0, a_1,...~a_k\rangle$, таких, которые не лежат в каком-нибудь (k − 1)—мерном подпространстве. 0-мерный симплекс $\langle a_0\rangle$ является точкой, 1-мерный $\langle a_0, a_1\rangle$ отрезком, 2-мерный $\langle a_0, a_1, a_2\rangle$ треугольником, 3-мерный $\langle a_0, a_1, a_2, a_3\rangle$ тетраэдром и т. д. Симплекс, порождённый частью точек $\langle a_i\rangle$, называется гранью симплекса.

Далее вводится понятие симплициального компле́кса (с ударением на е). Компле́ксом K называется множество симплексов, причём с любым из которых в комплекс входят все его грани и любые два симплекса либо вообще не имеют общей точки, либо они пересекаются только по целой грани какой-то размерности, причем только по одной грани. Обычно требуют ещё, чтобы любая точка комплекса имела окрестность, пересекающуюся не более чем с конечным числом симплексов (т. н. локальная конечность).

Цепи комплексов

Мы будем рассматривать градуированную абелеву группу с целочисленными коэффициентами, порождённую симплексами комплекса, т. н. группу цепей C(K), являющуюся прямой суммой групп цепей размерности $k:\; C_k(K)$. Симплексы считаем имеющими ориентацию и симплекс $\langle a_0, a_1,...~a_k\rangle$ будем считать равным $\langle a_{\sigma(0)}, a_{\sigma(1)},...~a_{\sigma(k)}\rangle$, если перестановка σ чётная и имеющим противоположный знак, если она нечётная.

Грани цепи

Определим оператор взятия i-й грани:

$\langle a_0,...~a_i,...~a_k\rangle\to (-1)^i\langle a_0,...~\hat{a_i},...~a_k\rangle$, где $\hat{a_i}$ означает, что i-я вершина должна быть пропущена.

Этот оператор зависит только от самого симплекса, а не фиксированного порядка вершин. Для этого достаточно доказать, что оператор взятия i-й грани не изменится при перестановке двух вершин (транспозиции). Если эта транспозиция не затрагивает a_i, то это очевидно. Если она переставляет a_i на j-е место, то имеем (пусть, например, j < i):

$\begin{matrix}\langle a_0,...~a_j,...~a_i,...~a_k\rangle = -\langle a_0,...~a_i,...~a_j,...~a_k\rangle \to -(-1)^j\langle a_0,...~\hat{a_i},...~a_{i-1},~a_j,...~a_k\rangle = \\ = -(-1)^j(-1)^{i-j-1}\langle a_0,...a_j,...~a_{i-1},\hat{a_i}...~a_k\rangle = (-1)^i\langle a_0,...~a_j,...~\hat{a_i},...~a_k\rangle\end{matrix}$

— что и ожидалось (возвращая $\hat{a_i}$ на старое место, надо сделать i − j + 1 транспозицию, соответственно столько же раз поменять знак).

Определим оператор ориентированной границы симплекса следующим образом:

$\partial_k\langle a_0,...~a_k\rangle=\sum(-1)^i\langle a_0,...~\hat{a_i},...~a_k\rangle$

Независимость этого определения относительно перестановок вершин уже доказана, поэтому это определение строго. Взятие граничного оператора понижает размерность на 1. Для 0-мерного симплекса (точки) A считаем $\partial{A}=0$. По линейности распространим оператор $\partial$ на любую цепь. Основным свойством граничного оператора является следующее:

$\partial_{k-1}\partial_k=0$

В результате применения $\partial_{k-1}\partial_k$ к симплексу $\langle a_0, a_1,...~a_k\rangle$ результатом будет цепь симплексов с двумя выброшенными вершинами. Предположим, что j < i. Симплекс $\langle a_0,...~\hat{a_j},...~\hat{a_i},...~a_k\rangle$ входит в результат первого действия оператора $(-1)^i \partial\langle \hat{a_i}\rangle$ со знаком ( − 1)^{i + j}, а в $(-1)^j \partial\langle \hat{a_j}\rangle$ со знаком ( − 1)^{i + j − 1}, так как по удалению $\hat{a_j}$ вершина $\hat{a_i}$ будет уже не на i—ом месте, а на (i − 1)—ом. Эти знаки противоположны, значит $\partial_{k-1}\partial_k$ будет равен нулю для любого симплекса, а по линейности - для любой цепи.

Симплициальные гомологии на комплексах и полиэдрах

Полиэдром (в широком смысле) называется множество, гомеоморфное комплексу. Этот гомеоморфизм называется триангуляцией. На комплексах и полиэдрах вводятся симплициальные гомологии следующим образом:

Рассмотрим группу цепей размерности k из симплексов нашего комплекса K, обозначаемую C_k(K).

Цепь c, на которой значение граничного оператора $\partial_k c=0$ равно нулю (иначе говоря, $c \in \operatorname{Ker}\; \partial_k$) называется циклом; их множество обозначим Z_k(K).

Если для некоторой цепи c' выполняется $c=\partial_{k+1}c'$ (иначе говоря, $c \in \operatorname{Im}\; \partial_{k+1}$), то цепь c называется границей; множество границ обозначим B_k(K). Так как оператор $\partial$ линеен, то и границы, и циклы образуют подгруппы группы цепей. Из того, что $\partial\partial=0$ ясно, что любая граница является циклом, то есть, $B_k\subseteq Z_k$.

Две цепи называются гомологичными, если они отличаются на границу.Это записывается $x\sim y$ (то есть $x=y+\partial z$).

Фактор-группа $H_k=Z_k(K)/B_k(K)=\operatorname{Ker}\;\partial_k/ \operatorname{Im}\;\partial_{k+1}$ называется группой k-мерных симплициальных гомологий комплекса.

Пример

Пусть S₁ - одномерный комплекс, являющийся границей двумерного симплекса (треугольника) $\langle a_0, a_1, a_2\rangle$. Найдём его гомологии.

B₁ = 0, так как в комплексе двумерных симплексов нет. Поэтому H₁ = Z₁ / B₁ = B₁. Узнаем теперь, когда одномерная цепь может быть циклом.

Возьмём произвольную цепь $c=x\langle a_0, a_1\rangle + y\langle a_1,a_2\rangle + z\langle a_2,a_0\rangle$. Имеем:

$\partial c=(z-x)\langle a_0\rangle + (x-y)\langle a_1\rangle + (y-z)\langle a_2\rangle=0$.

Значит, $z-x=x-y=y-z=0;\quad x=y=z$. Поэтому любой одномерный цикл c имеет вид

$x(\langle a_0, a_1\rangle + \langle a_1, a_2 \rangle + \langle a_2, a_0 \rangle)$

— значит H₁ = Z₁ есть просто бесконечная циклическая группа $\mathbb{Z}$.

Найдём нульмерные гомологии. Так как $\partial_0=0$, то Z₀ = C₀. Из равенства $\partial\langle a_0, a_1\rangle=\langle a_1\rangle-\langle a_0\rangle$ следует, что $\langle a_1\rangle$ и $\langle a_0\rangle$ отличаются на границу. Аналогично $\langle a_1\rangle$ и $\langle a_2\rangle$ отличаются на границу, поэтому с точностью до границы любая нульмерная цепь имеет вид $t\langle a_0\rangle$. То есть, C₀является просто бесконечной циклической группой $\mathbb{Z}$. Если она сама является границей, то есть $t\langle a_0\rangle=\partial c=(z-x)\langle a_0\rangle + (x-y)\langle a_1\rangle + (y-z)\langle a_2\rangle$, то имеем, что $x-y=y-z=0;\quad x=y=z;\quad t=z-x=0$, поэтому B₀ = 0 и $H_0=C_0/B_0=\mathbb{Z}$.

Итого, для границы двумерного симплекса $H_0=H_1=\mathbb{Z}$.

Некоторые свойства гомологий

Если гомологии комплекса K определены, то они же считаются гомологиями полиэдра | K | , соответствующего этому комплексу. Тут возникает проблема — данный полиэдр можно триангулировать по-разному. Однако можно доказать что непрерывному отображению полиэдров $f:|K|\to|L|$ сооветствует гомоморфизм $f_*:H_k(K)\to H_k(L)$, причём это соответствие, как говорят, функториально, то есть произведению непрерывных отображений соответствует произведение гомоморфизмов групп гомологий (fg) _* = f _* g _* , а тождественному отображению соответствует тождественный гомоморфизм (id) _* = id _* . Из этого следует, что группа гомологий полиэдра полностью определяется им самим.

Если комплекс состоит из конечного числа симплексов, то группа гомологий будет иметь конечное число образующих. В этом случае она представляется в виде прямой суммы нескольких экземпляров группы целых чисел $\mathbb{Z}$ (их число, то есть ранг группы гомологий называется числом Бетти) и конечных циклических групп $\mathbb{Z}_{a_0}, \mathbb{Z}_{a_1},...~\mathbb{Z}_{a_i},...~\mathbb{Z}_{a_k}$ где каждое a_i является делителем a_{i − 1} (эти числа называются коэффициентами кручения). Число Бетти и коэффициенты кручения определяются однозначно. Первоначально А.Пуанкаре как раз их и ввёл для характеристики топологических свойств. Э.Нётер показала важность перехода к изучению самих групп гомологий.

Сингулярные гомологии

Симплициальные гомологии были даны только для полиэдров, причём доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно. Сингулярные гомологии вводятся так, что их инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными.

Пусть X — любое топологическое пространство. Сингулярный симплекс размерности k — это пара (Δ^k,f) где Δ^k — это стандартный симплекс $\langle a_0,a_1,...~a_k\rangle$, а f — его непрерывное отображение в X; $f : \Delta^k\to X$. Группу сингулярных цепей определим как множество формальных линейных комбинаций:

ck =	∑	zi(Δk,fi)
	i

с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами z_i. При этом для линейного отображения $s_\pi:\Delta^k\to\Delta_k$ определяемого перестановкой π точек $(a_0,a_1,...~a_k)$ полагают $(\Delta^k,f)=(-1)^\pi(\Delta^k,f\circ s_\pi)$. Граничный оператор $\partial$ определяется на сингулярном симплексе (Δ_k,f) так:

$\partial(\Delta_k,f)=\sum_i (-1)^i(\Delta_{k-1},f_i),$

где Δ_{k − 1} стандартный (k − 1)-мерный симплекс, а $f_i=f\circ\epsilon_i$, где ε_i — это его отображение на i-ю грань стандартного симплекса $\Delta^k (\langle a_0,...~\hat{a_i},...~a_k\rangle)$. Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что $\partial\partial=0$. Как и раньше вводятся понятия сингулярных циклов — таких цепей c_k, что $\partial{c_k}=0$, и границ — цепей $c_k=\partial{c_{k+1}}$ для некоторого c_{k + 1}. Фактор-группа группы циклов по группе границ H_k = Z_k / B_k называется группой сингулярных гомологий.

Пример

Найдём, к примеру, сингулярные гомологии пространства из одной точки X = * . Для каждой размерности существует только одно-единственное отображение $f^k:\Delta^k\to *$. Граница симплекса $\partial_k(\Delta^k,f^k)=\sum(-1)^i(\Delta^{k-1},f^k_i)$, где все $f^k_i$ равны, так как отображают симплекс в одну точку (обозначим f^{k − 1}). Значит:

$\partial(\Delta^k,f^k)=0$, если k нечетно (число членов в сумме четно, а знаки чередуются);

$\partial(\Delta^k,f^k)=(\Delta^{k-1},f^{k-1})$, если $k\not=0$ и четно;

$\partial(\Delta^k,f^k)=0$, если k = 0.

Отсюда получаем для нулевой размерности: $Z_0=C_0=\mathbb{Z};\quad B_0=0;\quad H_0=\mathbb{Z}$.

Для нечётной размерности $k=2n-1: Z_k=C_k=\mathbb{Z};\quad B_k=\mathbb{Z};\quad H_k=0$.

Для чётной размерности $k=2n\not=0: Z_k=0;\quad B_k=0;\quad H_k=0$.

То есть группа гомологий равна $\mathbb{Z}$ для нулевой размерности и равна нулю для всех положительных размерностей.

Можно доказать, что на множестве полиэдров сингулярные гомологии совпадают с ранее определенными симплициальными.

История

Сингулярные гомологии были введены Лефшецом.

Гомологии с коэффициентами в произвольных группах

Можно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы G. Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства X с коэффициентами в группе G обозначаются H_k(X,G). Обычно применяют группу действительных чисел $\mathbb{R}$, рациональных чисел $\mathbb{Q}$, или циклическую группу вычетов по модулю m — $\mathbb{Z}_m$, причём обычно берётся m = p — простое число, тогда $\mathbb{Z}_p$ является полем.

Когомологии

Кроме цепей можно ввести понятие коцепей — линейных форм на цепях со значением в группе G для каждой размерности $k: (C^k(X)=\operatorname{Hom}(C_k(X),G))$. Определяется граничный оператор $\delta^k:C^k\to C^{k+1}$ по формуле: (δ^kx)(c) = x(d_{k + 1}c) (где xÎC^k, cÎC_k+1). Так как δ^{k + 1}δ^k = 0, а именно (δ^{k + 1}δ^k(x))(c) = δ^kx(d_{k + 2}c) = x(d_{k + 1}d_{k + 2}c) = x(0) = 0. Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия коциклов Z^k(X,G) = Kerδ^k, кограниц $B^k(X,G)=\operatorname{Im} \delta^{k-1}$ и когомологий H^k(X,G) = Z^k(X,G) / B^k(X,G). Понятие когомологии двойственно понятию гомологии. Если G — кольцо, то в группе когомологий H ^* (X,G) определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или $\cup$-npоизведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо, называемое кольцо когомологий. В случае, когда X — дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий $H^*(X,\mathbb{R})$ может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на X (см. теорема де Рама). Понятие когомологии было введено Александером и Колмогоровым.

Относительные гомологии и точная гомологическая последовательность

Возьмём случай двух топологических пространств YÌ X; Группа цепей C_k(Y)Ì C_k(X) (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе G). Относительными цепями будут называться элементы фактор группы C_k(X,Y)=C_k(X)/C_k(Y). Так как граничный оператор d на группе гомологий подпространства Y переводит d_k:C_k(Y)→C_k-1(Y), то можно определить на фактор группе C_k(X,Y) граничный оператор (мы его также обозначим через d) d_k:C_k(X,Y)→C_k-1(X,Y). Те относительные цепи, которые он переводит в 0 будут называться относительными циклами Z_k(X,Y), а цепи, которые являются его значениями — относительными границами B_k(X,Y). Так как dd=0 на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда B_k(X,Y)ÌZ_k(X,Y). Фактор-группа H_k(X,Y)=Z_k(X,Y)/B_k(X,Y) называется группой относительных гомологий. Так как каждый абсолютный цикл в H_k(X) является также и относительным то имеем гомоморфизм j_k:H_k(X)→H_k(X,Y). По функториальному свойству вложение i_k:Y→X приводит к гомоморфизму i_*:H_k(Y)→H_k(X). В свою очередь можно построить гомоморфизм d_{* k}:H_k(X,Y)→H_k-1(Y), который мы определим следующим образом. Пусть с_kÎC_k(X,Y) — относительная цепь, которая определяет цикл из H_k(X,Y). Рассмотрим её как абсолютную цепь в C_k(X) (с точностью до элементов C_k(Y)). Так как это относительный цикл, то d_kc будет равен нулю с точностью до некой цепи c_k-1ÎC_k-1(Y). Положим d_{* k} равным классу гомологий c_k-1=d_kcÎZ_k-1(Y). Если мы возьмём другую абсолютную цепь c'_kÎC_k(X), определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь c=c'+u, где uÎC_k(Y). Имеем d_kc=d_kc'+d_ku, но так как d_ku является границей в Z_k-1(Y) то d_kc и d_kc' определяют один и тот же элемент в группе гомологий H_k-1(Y). Если взять другой относительный цикл c", дающий тот же элемент в группе относительных гомологий c=c"+b, где b — относительная граница, то в силу того, что b граница для относительных гомологий b=d_k+1x+v, где vÎC_k(Y) , отсюда d_kc=d_kc"+d_kd_k+1x+d_kv, но dd=0, а d_kv — граница в Z_k-1(Y). Поэтому класс гомологий d_{* k}c_k определен однозначно. Ясно по линейности оператора d_{* k}, что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы: i_{* k}:H_k(Y)→H_k(X); j_{* k}:H_k(X)→H_k(X,Y) и d_{* k}:H_k(X,Y)→H_k-1(Y);

$...\to H_k(Y)\to H_k(X)\to H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to...$

Можно доказать, что эта последовательность точна, то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма.

Аксиомы Стинрода — Эйленберга

Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например клеточные гомологии, когомологии Чеха, когомологии де Рама и т.д. Стинрод и Эйленберг определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар D топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам:

1. Если (X, Y)∈D, то (X, X)∈D, (X,Æ)∈D, (Y, Y)∈D и (Y,Æ)∈D
2. Если (X, Y)∈D, то и (X×I, Y×I)∈D, где I — замкнутый интервал [0,1]
3. (*,Æ)∈D, где * — одноточечное пространство.

В теории гомологий по Стинроду-Эйленбергу каждой допустимой паре и любому целому числу k соответствует абелева группа H_k(X,Y) и непрерывному отображению пар f:(X,Y)→(X',Y') соответствует гомоморфизм f_{* k}:H_k(X,Y)→H_k(X',Y') (Пространство X отождествляется с парой (X,Æ), а H_k(X) с H_k(X,Æ), причём выполняются следующие аксиомы:

1. Тождественному отображению пары id соответствует тождественный гомоморфизм id_{* k}
2. (gf)_{* k}=g_{* k}f_{* k}
   (функториальные свойства)
3. Определен граничный гомоморфизм d_{* k}:H_k(X,Y)→H_k-1(Y) причём если f:(X,Y)→(X',Y') то для соответствующего гомоморфизма f_{* k}:H_k(X,Y)→H_k(X',Y') d_{* k}f_{* k}=f_{* k-1}d_{* k} для любой размерности k.
4. Пусть i:Y→X и j:X→(X,Y) вложения, i_k:H_k(Y)→H_k(X) и j_k:H_k(X)→H_k(X,Y) — соответствующие гомоморфизмы, d_{* k}:H_k(X,Y)→H_k-1(Y) — граничный гомоморфизм. Тогда определяемая ими последовательность
   …→H_k(Y)→H_k(X)→H_k(X,Y)→H_k-1(Y)→… точна
   (аксиома точности)
5. Если отображения f, g:(X,Y)→(X',Y') гомотопичны то соответствующие гомоморфизмы равны f_{* k}=g_{* k} для любой размерности k
   (аксиома гомотопической инвариантности).
6. Если U⊂X — открытое подмножество X, причём его замыкание содержится во внутренности множества Y: (Ū⊂Int Y), тогда если пары (X\U, Y\U) и (X, Y) принадлежат допустимому классу, то для любой размерности k включению (X\U, Y\U)→(X, Y) соответствует изоморфизм H_k(X\U, Y\U)→H_k(X, Y)
   (аксиома вырезания).
7. Для одноточечного пространства H_k(*)=0 для всех размерностей k>0. Абелева группа G=H₀(*) называется группой коэффициентов
   (аксиома размерности).

Для сингулярных гомологий допустимый класс пар состоит из всех пар топологических пространств. Ранее определенные группы сингулярных гомологий с коэффициентами в группе G их отображения и граничный гомоморфизм d_* удовлетворяют всем этим аксиомам. Если в качестве допустимого класса взять класс полиэдров, то можно доказать, что гомологии, определенные с помощью данной системы аксиом, совпадают с симплициальными.

Аналогично можно ввести систему аксиом для когомологий, которая полностью аналогична. Необходимо только иметь в виду, что отображению f: (X, Y)→(X', Y') соответствует f^{* k}: H^k(X', Y')→H^k(X, Y) (контравариантность) и что кограничный гомоморфизм δ^{* k}:H^k-1(Y)→H^k(H, Y) увеличивает размерность.

Экстраординарные гомологии

В системе аксиом Стинрода — Эйленберга аксиома размерности оказывается не столь важна, как остальные. Теории (ко)гомологий, которые могут иметь ненулевые группы (ко)гомологий одноточечного пространства для размерностей k>0, называются экстраординарными или обобщёнными. Наиболее важными экстраординарными теориями являются K-теория Атьи (надо отметить важный вклад в эту теорию Хирцебруха, Ботта и Адамса) и теория бордизмов Р.Тома.

Литература

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
• Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО, 2006
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
• Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989

См. также

• Гомологическая алгебра
• Гомотопия