Дзета-функция

Дзета-функция

Дзета-функция Римана ζ(s) определяется с помощью ряда Дирихле:

\zeta(s) = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots.

В области  \left\{ s\mid\operatorname{Re}\,s > 1\right\}, этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В этой области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} ,

где произведение берётся по всем простым числам p. Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Содержание

Свойства

  • Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
    2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m}, где B2mчисло Бернулли.
    • В частности, \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}, \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}.
  • Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978). Есть также результаты, показывающие, что среди некоторого множества значений дзета-функции в следующих нечетных точках есть хотя бы одно иррациональное.
  • При \operatorname{Re}\,s> 1
  • ζ(s) имеет в точке s = 1, простой полюс с вычетом, равным 1.
  • Дзета-функция при s\ne 0, s\ne 1 удовлетворяет уравнению:
    \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin{\pi s \over 2} \Gamma(1-s) \zeta(1-s),
где Γ(z)Гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана.
  • Для функции
    \xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)
введенной Риманом для исследования ζ(s) и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид
\ \xi(s)=\xi(1-s)

Нули дзета-функции

Основная статья: Гипотеза Римана

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости \operatorname{Re}\,s< 0, функция ζ(s) имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: 0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots. Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее \zeta(s)\not=0 при вещественных s\in (0,1). Таким образом, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами, обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали \operatorname{Re}\,s=1/2 и лежат в полосе 0\leqslant\operatorname{Re}\,s\leqslant 1, которая называется критической полосой. Гипотеза Римана состоит в том, что все «нетривиальные» нули дзета-функции находятся на прямой 1 / 2 + it.

История

Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной переменной.

Ссылки

  • Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein Riemann Zeta Function на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Дзета-функция" в других словарях:

  • дзета-функция — дзета функция, дзета функции …   Орфографический словарь-справочник

  • ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ — z ф у нкция, 1) Д. ф. в теории чисел класс аналитич. функций комплексного переменного, состоящий из z функции Римана, ее обобщений и аналогов. Д. ф. и их обобщения в виде L функций (см. Дирихле L функции )лежат в основе современной аналитич.… …   Математическая энциклопедия

  • Дзета-функция —         1) аналитическая функция комплексного переменного s = σ + it, определяемая при σ > 1 формулой                  Эту функцию для действительных s ввёл в математический анализ Л. Эйлер (1737), а для комплексных s впервые изучал немецкий… …   Большая советская энциклопедия

  • дзета-функция — дз ета ф ункция, и …   Русский орфографический словарь

  • дзета-функция — дзе/та фу/нкция, дзе/та фу/нкции …   Слитно. Раздельно. Через дефис.

  • дзета-функция — дзет/а/ функци/я [й/а] …   Морфемно-орфографический словарь

  • Дзета-функция Римана — Запрос «Дзета функция» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Качественный график дзета функции Римана на действительной оси. Слева от нуля значения функции увеличены в 100 раз …   Википедия

  • Дзета-функция Гурвица — В математике Дзета функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица,  это одна из многочисленных дзета функций, являющихся обобщениями дзета функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s,… …   Википедия

  • Римана дзета-функция — Дзета функция Римана ζ(s) определяется с помощью ряда Дирихле: . В области , этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В этой области также верно… …   Википедия

  • Римана дзета-функция — (математическая)         см. Дзета функция …   Большая советская энциклопедия

Книги

  • Дзета-функция Римана, Э. Ч. Титчмарш. В настоящей книге известного английского математика Э. Ч. Титчмарша систематически излагаются основные свойства дзета-функции, играющей исключительно большую рольв теории чисел. Ряд проблем о… Подробнее  Купить за 461 руб
  • Дзета-функция Римана, Э. Ч. Титчмарш. В настоящей книге известного английского математика Э. Ч. Титчмарша систематически излагаются основные свойства дзета-функции, играющей исключительно большую рольв теории чисел. Ряд проблем о… Подробнее  Купить за 417 грн (только Украина)
  • Дзета-функция Римана, Титчмарш Э.Ч.. В настоящей книге известного английского математика Э. Ч. Титчмарша (1899-1963) систематически излагаются основные свойства дзета-функции, играющей исключительно большую роль в теории чисел.… Подробнее  Купить за 322 руб
Другие книги по запросу «Дзета-функция» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»