Сходимость в Lp

Сходимость в Lp

Сходи́мость в L^p в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — вид сходимости измеримых функций или случайных величин.

Определение

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) — пространство с мерой. Тогда пространство L^p\equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu) измеримых функций, таких что их p-я степень, где p \geqslant 1, интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:

d(f,g) = \|f - g\|_p \equiv \left(\, \int\limits_X |f(x)-g(x)|^p\, \mu(dx)\, \right)^{1/p}.

Пусть дана последовательность \{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p. Тогда говорят, что эта последовательность сходится в L^p к функции f \in L^p, если она сходится в метрике, определённой выше, то есть

\lim\limits_{n \to \infty} \|f_n - f\|_p = 0.

Пишут: f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} f.

В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин \{X_n\}_{n=1}^{\infty}\subset L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) сходится к X из того же пространства, если

\lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}|X_n-X|^p = 0.

Пишут: X_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} X.

Терминология

  • Сходимость в пространстве L^1 называется сходимостью в среднем.
  • Cходимость в пространстве L^2 называется сходимость в среднеквадратичном.

Свойства сходимости в L^p

  • Пространство L^p полно. Если \|f_n-f_m\|_p \to 0 при \min(n,m) \to \infty, то существует f \in L^p, такой что f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} f.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Сходимость в Lp" в других словарях:

  • сходимость — конвергенция; конвергентность. Ant. расходимость, дивергенция Словарь русских синонимов. сходимость сущ., кол во синонимов: 1 • конвергентность (2) …   Словарь синонимов

  • СХОДИМОСТЬ — понятие математического анализа, означающее, что некоторая последовательность имеет предел …   Большой Энциклопедический словарь

  • СХОДИМОСТЬ — СХОДИМОСТЬ, в математике свойство бесконечного ряда (или последовательности), имеющего единственный и конечный предел. Так, для ряда 1 + 1/2 + 1/22 + 1/23 +... сумма первых двух членов равна 1,5, первых трех 1,75, первых четырех 1,875; по мере… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Сходимость — В математике Сходимость означает то, что бесконечная последовательность или сумма бесконечного ряда или несобственный интеграл имеют предел. Понятия имеют смысл для произвольных последовательностей, рядов и интегралов: Предел последовательности… …   Википедия

  • сходимость — 3.6 сходимость (repeatability): Близость результатов двух испытаний, полученных одним методом, в идентичных условиях, водной лаборатории. Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • СХОДИМОСТЬ — одно из основных понятий математич. анализа, означающее, что нек рый математич. объект имеет предел. В этом смысле говорят о С. последовательности каких либо элементов, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. цепной дроби, С. интеграла и т. п.… …   Математическая энциклопедия

  • сходимость — понятие математического анализа, означающее, что некоторая последовательность имеет предел. * * * СХОДИМОСТЬ СХОДИМОСТЬ, понятие математического анализа, означающее, что некоторая последовательность имеет предел …   Энциклопедический словарь

  • сходимость — glaustis statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. convergence vok. Konvergenz, f rus. сходимость, f pranc. convergence, f …   Radioelektronikos terminų žodynas

  • сходимость — rezultatų glaudumas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Nepriklausomų tyrimo rezultatų, gautų tomis pačiomis sąlygomis, artumas. atitikmenys: angl. precision vok. Wiederholbarkeit von Messungen, f rus. сходимость, f pranc …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

  • сходимость — rezultatų glaudumas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Rezultatų, gautų apibrėžtomis sąlygomis keletą kartų bandant tuo pačiu metodu ir tas pačias medžiagas, atitikimo artumas. atitikmenys: angl. precision vok.… …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»