- Сходимость в Lp
-
Сходи́мость в
в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — вид сходимости измеримых функций или случайных величин.
Определение
Пусть
— пространство с мерой. Тогда пространство
измеримых функций, таких что их
-я степень, где
, интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:
.
Пусть дана последовательность
. Тогда говорят, что эта последовательность сходится в
к функции
, если она сходится в метрике, определённой выше, то есть
.
Пишут:
.
В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин
сходится к
из того же пространства, если
.
Пишут:
.
Терминология
- Сходимость в пространстве
называется сходимостью в среднем.
- Cходимость в пространстве
называется сходимость в среднеквадратичном.
Свойства сходимости в
- Единственность предела. Если
и
, то
-почти всюду (
-почти наверное).
- Пространство
полно. Если
при
, то существует
, такой что
.
- Сходимость в
влечёт сходимость по мере (по вероятности). Если
, то
.
Категории:- Функциональный анализ
- Теория вероятностей
Wikimedia Foundation. 2010.