Модуль непрерывности

Для любой функции $f$, определённой на множестве $E$, можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого $\omega_f(\delta)$. Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная

$\omega_f(\delta)=\sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|\colon(x_1,\;x_2\in E)\and|x_1-x_2|<\delta\},$

или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из $E$ длиной меньше $\delta$. Также в литературе встречаются другие обозначения: $\omega(f,\;\delta)$ и (реже) $\omega(\delta,\;f)$.

Свойства модуля непрерывности

Введённая функция обладает рядом интересных свойств.

• При любом $\delta$ она неотрицательна.
• Функция не убывает.
• Функция полуаддитивна, если $E$ выпукло:

  $\omega_f(\delta_1+\delta_2)\leqslant\omega_f(\delta_1)+\omega_f(\delta_2).$

  Докажем:

  $\forall x_1, x_2\in E\;(|x_1-x_2|\leqslant\delta_1+\delta_2)\Rightarrow\exists x'\colon(|x'-x_1|\leqslant\delta_1)\and(|x_2-x'|\leqslant\delta_2).$

  Тогда:

  $|f(x_1)-f(x_2)|=|f(x_1)-f(x')+f(x')-f(x_2)|\leqslant|f(x_1)-f(x')|+|f(x')-f(x_2)|\leqslant\omega_f(\delta_1)+\omega_f(\delta_2),$

  ч. т. д.

• По определению в точке 0 модуль непрерывности равен 0:

  $\omega_f(0)\stackrel{\mathrm{def}}{=}0.$

• Если функция $f$ определена на отрезке $[a,\;b]$ и непрерывна на нём, то $\lim_{\delta\to 0+}{\omega_f(\delta)}=0$, и наоборот. Данный предел обозначается также $\omega_f(0+)$.

Пусть $\omega_f(+0)=0$, так как функция неотрицательна, то

$\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0\colon 0\leqslant\omega_f(\delta)<\varepsilon\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$

при любых $x_1$ и $x_2$ из $[a,\;b]$ таких, что расстояние между ними меньше $\delta$. Если мы зафиксируем $x_1$, а $x_2$ будет варьироваться в пределах какой-нибудь окрестности $x_1$, мы увидим, что выписанное выражение является определением непрерывности функции в точке $x_1$, а поскольку вместо $x_1$ мы можем взять любую точку отрезка, получим, что $f(x)$ непрерывна на нём.

Докажем теперь обратное утверждение. Пусть $f(x)$ непрерывна на $[a,\;b]$. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке, как говорит нам теорема Кантора — Гейне. Запишем это утверждение в символьном виде:

$\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0\colon\forall x_1,\;x_2\in[a,\;b]\;(|x_1-x_2|<\delta)\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2}.$

Тогда, как было сказано в определении модуля непрерывности,

$\omega_f(\delta)=\sup\{|f(x_1)-f(x_2)|\colon(x_1,\;x_2\in[a,\;b])\and|x_1-x_2|<\delta\}.$

Но, как мы только что показали

$|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2},$

а стало быть, верхняя грань, которой является модуль непрерывности, меньше или равна $\frac{\varepsilon}{2}$ и уж точно меньше $\varepsilon$. Но, поскольку $\omega_f(\delta)$ не убывает, при $0<\delta'<\delta$ получим неравенство:

$\omega_f(0)=0\leqslant\omega_f(\delta')\leqslant\omega_f(\delta)<\varepsilon$ или $\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0\colon\delta'\in\stackrel{\circ}{U}{}_\delta^+(0)\Rightarrow\omega_f(\delta')\in U_\varepsilon(0),$

что по определению означает существование предела модуля непрерывности в точке 0 справа, ч. т. д.

• Если $f(x)$ непрерывна на $[a,\;b]$, то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке $[0,\;b-a]$.

  Докажем это утверждение. По только что доказанному свойству $\omega_f(\delta)$ непрерывен в точке 0 справа. Возьмём положительное число $h$ и, используя свойства неотрицательности и полуаддитивности, выпишем следующее неравенство:

  $0\leqslant\omega_f(\delta+h)-\omega_f(\delta)\leqslant\omega_f(h).$

  При устремлении $h$ к нулю справа крайние части неравенства стремятся к нулю, а значит, по теореме о двух милиционерах, и средняя часть (которая представляет собой приращение функции при положительном приращении аргумента) стремится к нулю, то есть предел функции в точке справа равен её значению в этой точке. Это означает непрерывность справа во всех точках $[a,\;b]$. Теперь, подставив в неравенство $\delta_1=\delta-h$, таким же образом получим непрерывность слева и равенство левых пределов правым в каждой точке отрезка, что и означает непрерывность $\omega_f(\delta)$ на всём отрезке.

Связанные понятия

Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:

• принадлежность классам Липшица и Гёльдера;
• гладкость;
• дифференцируемость;
• возможности эффективного приближения функции полиномами (неравенство Джексона — Стечкина)
• и многих других.

Вариации и обобщения

Модули непрерывности высших порядков

Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции $f$.

$\omega_f(\delta)=\sup\{|\Delta^1_h(f,\;x)|\colon(x\in E)\and|h|<\delta\}.$

Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка $n$, то получим определение модуля непрерывности порядка $n$. Обычное обозначение для таких модулей — $\omega_n(f,\;\delta)$.

Свойства

• Если $k$ — целое число, то $\omega_n(f,\;k\delta)\leqslant k^n\omega_n(f,\;\delta).$

Неклассические модули непрерывности

Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берётся этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берётся разностный оператор также зависеть от точки. Подобные неклассические модули непрерывности находят своё применение в различных областях современной математики.