Регулярная функция

Регулярная функция

Голоморфная функция — комплекснозначная функция, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости \Bbb C и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

В отличие от вещественного случая, это условие влечёт, что функция бесконечно дифференцируема и может быть представлена сходящимся к ней рядом Тейлора.

Голоморфные функции также называют иногда аналитическими, хотя второе понятие гораздо более широкое, так как аналитическая функция не обязана быть определена на множестве комплексных чисел. Тот факт, что для комплекснозначных функций комплексной переменной множества голоморфных и аналитических функций совпадают, является нетривиальным и весьма замечательным результатом комплексного анализа.

Содержание

Определение

Пусть Uоткрытое подмножество в \mathbb{C} и f:U\to\mathbb{C} — комплекснозначная функция на U.

  • Функцию f называют комплексно дифференцируемой в точке z_0\in U, если существует предел
    f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.
    • В этом выражении предел берется по всем последовательностям комплексных чисел, сходящихся к z0, для всех таких последовательностей выражение должно сходиться к одному и тому же числу f'(z0). Комплексное дифференцирование во многом похоже на вещественное: оно линейно и удовлетворяет тождеству Лейбница.
  • Функцию f называют голоморфной в U, если она комплексно дифференцируема в каждой точке U.
  • Функцию f называют голоморфной в z_0\in U, если она голоморфна в некоторой окрестности z0.

Другое определение

Определению голоморфной функции можно придать несколько другой вид, если воспользоваться операторами \frac{\partial}{\partial z} и \frac{\partial}{\partial \bar z}, определяемыми по правилу

\frac{\partial}{\partial z} = {1 \over 2} \left( \frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y} \right) ,
\frac{\partial}{\partial\bar z} = {1 \over 2} \left( \frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y} \right) ,

где z = x + iy. Тогда функция f называется голоморфной, если

\frac{\partial f}{\partial\bar z}=0,

что эквивалентно условиям Коши — Римана.

Связанные определения

Свойства

  • Комплексная функция u + iv = f(x + iy) является голоморфной тогда и только тогда, когда выполняются условия Коши — Римана
    \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y};\quad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
и частные производные \frac{\partial u}{\partial x},\;\frac{\partial u}{\partial y},\;\frac{\partial v}{\partial x},\;\frac{\partial v}{\partial y} непрерывны.
  • Сумма и произведение голоморфных функций — голоморфная функция, что следует из линейности дифференцирования и выполнения правила Лейбница. Частное голоморфных функций также голоморфно во всех точках, где знаменатель не обращается в 0.
  • Производная голоморфной функции опять является голоморфной, поэтому голоморфные функции являются бесконечно дифференцируемыми в своей области определения.
  • Голоморфные функции являются аналитическими, то есть могут быть представлены в виде сходящегося в некоторой окрестности каждой точки ряда Тейлора. Таким образом, для комплексных функций комплексной переменной множества голоморфных и аналитических функций совпадают.
  • Из любой голоморфной функции можно выделить её вещественную и мнимую часть, каждая из которых будет решением уравнения Лапласа в \R^2. То есть если f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y) — голоморфная функция, то u и vгармонические функции.
  • Если абсолютная величина голоморфной функции достигает локального максимума во внутренней точке своей области определения, то функция постоянна (предполагается, что область определения связна). Отсюда следует, что максимум и минимум абсолютной величины голоморфной функции могут достигаться лишь на границе области.
  • В области, где первая производная голоморфной функции не обращается в 0, а функция однолистна, она осуществляет конформное отображение.
  • Интегральная формула Коши связывает значение функции во внутренней точке области с её значениями на границе этой области.
  • С алгебраической точки зрения, множество голоморфных на открытом множестве функций — это коммутативное кольцо и комплексное линейное пространство. Это локально выпуклое топологическое векторное пространство с полунормой, равной супремуму на компактных подмножествах.

История

Термин «голоморфная функция» был введён двумя учениками Коши, Брио (18171882) и Боке (18191895), и происходит от греческих слов őλoς (холос), что значит «целый», и μoρφń (морфе) — форма, образ.[1]

Сегодня многие математики предпочитают термин «голоморфная функция» вместо «аналитическая функция», так как второе понятие более общее. Кроме того, одним из важных результатом комплексного анализа является то, что любая голоморфная функция является аналитической, что не очевидно из определения. Термин «аналитический» употребляют обычно для более общих функций, заданных не обязательно на комплексной плоскости.

Вариации и обобщения

Многомерный случай

Существует также определение голоморфности функций многих комплексных переменных

f\colon \C^n \to \C.

Для определения используются понятия \C-дифференцируемости и \C-линейности таких функций

С-линейность

Функция f называется \C-линейной если удовлетворяются условия:

  • f(z'+z'')=f(z')+f(z''),\quad z',\;z''\in\C^n.
  • f(\lambda z)=\lambda f(z),\quad z\in\C^n, \quad\lambda\in\C

(для \R-линейных функций \lambda\in\R).

С-дифференцируемость

Функция f называется \C-дифференцируемой в точке z\in\C^n если существуют функции l и o, такие что в окрестности точки z

f(z+h)=f(z)+l(h)+o(h),\quad \lim_{h\to 0}\frac{o(h)}{h}=0,

где l — \C-линейная (для \R-дифференцируемости — \R-линейная) функция.

Голоморфность

Функция f называется голоморфной в области D, если она \C-дифференцируема в окрестности каждой точки этой области.

Ссылки

  1. Markushevich A. I., Silverman, Richard A. (ed.) Theory of functions of a Complex Variable. — М.: Американское математическое общество, 2-е изд. — ISBN 0-8218-3780-X, [1].

Литература

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Регулярная функция" в других словарях:

  • РЕГУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ — п р а в и л ь н а я ф у н к ц и я, в области функция f(z) комплексного переменного z, однозначная в этой области и имеющая в каждой ее точке конечную производную (см. Аналитическая функция). Р. ф. в т о ч к е а это Р. ф. в нек рой окрестности а.… …   Математическая энциклопедия

  • РЕГУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА — аддитивная функция m, определенная на системе множеств топологич. пространства, полная вариация к рой удовлетворяет условию где внутренность множества замыкание множества F(E, G, F из области определения m). Ограниченная аддитивная Р. ф. м.,… …   Математическая энциклопедия

  • кусочно-регулярная функция — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN piece regular function …   Справочник технического переводчика

  • Функция распределения (статистическая физика) —     Статистическая физика …   Википедия

  • Функция распределения (статистическая механика) — Статистическая физика Термодинамика Молекулярно кинетическая теория Статистики Максвелла Больцмана Бозе Эйнштейна · Ферми Д …   Википедия

  • Регулярная точка — (от лат. regularis правильный)         правильная точка, математический термин, употребляющийся в различных смыслах. Р. т. функции f(z) комплексного переменного z = x + iy (i = z0 = x0 + iy0, в некоторой окрестности |z z0| …   Большая советская энциклопедия

  • РЕГУЛЯРНАЯ ГРАНИЧНАЯ ТОЧКА — точка y0 границы Г области Dевклидова пространства , в к рой для любой непрерывной на Г функции f(y)обобщенное решение u (x) Дирихле задачи в смыслеВинера Перрона (см. Перрона метод).принимает граничное значение , то есть Р. г. т. для области… …   Математическая энциклопедия

  • РЕГУЛЯРНАЯ ЭКСТРЕМАЛЬ — н е о с о б е н н а я э к с т р е м а л ь, экстремаль у(х), во всех точках к рой выполняется условие (1) где F(x, у, у ) подинтегральная функция, входящая в минимизируемый функционал Как всякая экстремаль, Р. э. есть, но определению, гладкое… …   Математическая энциклопедия

  • РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — 1) Р. ф. функция w=R(z), где R(z) рациональное выражение от z, т. е. выражение, полученное из независимого переменного z и нек рого конечного набора чисел (действительных или комплексных) посредством конечного числа арифметич. действий. Р. ф.… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена обобщенным рядом Фурье. Существуют различные способы определения классов П. п. ф., основанные на понятиях замыкания, почти периода, сдвига. Каждый из классов П. п. ф. получается в результате замыкания в том… …   Математическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»