Функция распределения (статистическая механика)

Функция распределения (статистическая механика)
Статистическая физика
S = k_B \, \ln\Omega
Термодинамика
Молекулярно-кинетическая теория

Функция статистического распределения (функция распределения в статистической физике) — одно из основополагающих понятий статистической физики. Знание функции распределения полностью определяет вероятностные свойства рассматриваемой системы.

Механическое состояние любой системы однозначно определяется координатами qi и импульсами pi ее частиц (i=1,2,…, d; d — число степеней свободы системы). Набор величин q \equiv \left\{ q_{i}  \right\} и p \equiv \left\{ p_{i}  \right\} образуют фазовое пространство. Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства dqdp\equiv\prod\limits_{i}dq_{i}dp_{i} (с точкой q, p внутри) дается формулой:

d\omega=\rho \left(t,q,p\right)dqdp \qquad (1)

Функцию \rho \left(t,q,p\right) называют полной функцией статистического распределения (или просто функцией распределения). Фактически она представляет из себя плотность изображающих точек в фазовом пространстве. Функция \rho \left(t,q,p\right) удовлетворяет условию нормировки

 \int {dqdp\rho \left(t,q,p\right)}=1, \qquad (2)

причем интеграл берется по всему фазовому пространству. В соответствующем механике случае система находится в определенном микроскопическом состоянии, то есть обладает заданными  {q}^{(0)} \equiv \left\{{q_i}^{(0)}\right\} и  {p}^{(0)} \equiv \left\{{p_i}^{(0)}\right\}, и тогда

\rho \left(q,p\right)=\delta\left(q-q^{(0)}\right)\delta\left(p-p^{(0)}\right),

где \delta\left(q-q^{(0)}\right)\delta\left(p-p^{(0)}\right)\equiv \prod\limits_{i}\delta\left(q_i-{q_i}^{(0)}\right)\delta\left(p_i-{p_i}^{(0)}\right) (δ - функция Дирака). Помимо самих вероятностей различных микроскопических состояний, функция  \rho \left(t,q,p\right) позволяет найти среднее статистическое значение любой физической величины  F \left(t,q,p\right) – функции фазовых переменных q и p:

 \left\langle\hat{F}\right\rangle=\int {dqdp\hat{F}\hat{\rho}},

где «крышечка» означает зависимость от фазовых переменных, а скобка – статистическое усреднение. Разобьем систему на малые, но макроскопические подсистемы. Можно утверждать о статистической независимости таких подсистем вследствие их слабого взаимодействия с окружением (во взаимодействии с окружением принимают участие лишь частицы, близкие к границе подсистемы; в случае макроскопичности подсистемы их число мало по сравнению с полным числом ее частиц). Статистическая независимость подсистем приводит к следующему результату для функции распределения

 \rho \left(t,q,p\right)=\prod\limits_{n}\rho^{(n)}\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)\qquad (3)

Индекс n относится к n-й подсистеме. Каждую из функций \rho^{(n)}\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right) можно считать нормированной в соответствии с условием (2). При этом автоматически будет нормирована и функция ρ. Понятие о статистической независимости является приближенным. Приближенным в свою очередь является и равенство (3): оно не учитывает корреляции частиц, принадлежащих различным подсистемам. Существенно, однако, что в обычных физических условиях корреляции быстро ослабевают по мере удаления частиц (или групп частиц) друг от друга. Для системы существует характерный параметр – радиус корреляций, вне которого частицы ведут себя статистически независимо. В подсистемах макроскопических размеров подавляющее число частиц одной подсистемы лежит вне радиуса корреляций от частиц другой, и по отношению к этим частицам равенство (3) справедливо.

Математически задание полной функции распределения \rho \left(t,q,p\right) равносильно заданию бесконечного числа независимых величин – ее значений на континууме точек фазового пространства колоссальной размерности 2d (для макроскопических систем d ~ NA, где NAчисло Авогадро).

В более реальном случае неполного измерения становятся известны вероятности значений или даже средние значения лишь некоторых физических величин \hat{A}\equiv\left\{\hat{A}_m\right\}. Число их обычно бывает много меньше размерности фазового пространства системы. Функция распределения вероятностей \rho \left(A\right) значений A дается равенством

 \rho\left(A\right)=\int {dqdp\delta\left(A-\hat{A}\right)\rho\left(q,p\right)},

где \delta\left(A-\hat{A}\right)\equiv \prod\limits_{m}\delta\left(A_m-\hat{A}_m\right). Функция распределения  \rho\left(A\right) может быть названа неполной. Очевидно, она позволяет найти вероятности значений лишь физических величин \hat{f}\equiv f\left(\hat{A}\right) , зависимость которых от фазовых переменных осуществляется через \hat{A} . Для таких же величин она позволяет найти и средние значения:

 \left\langle\hat{f}\right\rangle=\int {dAf\left(A\right)\rho\left(A\right)},

где dA\equiv\prod\limits_{m}dA_m и интегрирование ведется по всем возможным значениям A. Конечно, средние значения \left\langle\hat{f}\right\rangle величин \hat{f} можно было бы найти с помощью полной функции распределения \rho \left(t,q,p\right), если бы она была известна. Для функции \rho\left(A\right) так же, как и для полной функции распределения, справедливо условие нормировки:

\int{dA\rho\left(A\right)}=1

Описание системы с помощью функции \rho\left(A\right) называется неполным описанием. Конкретными примерами служат описание с помощью функции распределения координат и импульсов отдельных частиц системы или описание с помощью средних значений масс, импульсов и энергий отдельных подсистем всей системы.

Временная эволюция функции распределения подчиняется уравнению Лиувилля

\frac {\partial\hat{\rho}\left(t\right)}{\partial t}+iL_t\hat{\rho}\left(t\right)=0,\qquad (4)

где L_t\equiv-i\left\{\hat{H}_t,\quad\right\}\equiv-i\sum\limits_{j}\left(\frac{\partial\hat{H}_t}{\partial p_j}\frac{\partial}{\partial q_j}-\frac{\partial\hat{H}_t}{\partial q_j}\frac{\partial}{\partial p_j}\right) – оператор Лиувилля, действующий в пространстве фазовых функций, \hat{H}_tфункция Гамильтона системы. В случае, когда оператор Лиувилля не зависит от времени (Lt = L), решение уравнения (4) имеет вид

\hat{\rho}\left(t\right)=e^{-itL}\hat{\rho}\left(0\right)\qquad (5)

Чтобы использовать (5) для фактического построения решения, нужно знать собственные функции \hat{\psi}^{(n)} и собственные значения L(n) оператора L. Пользуясь полнотой и ортонормированностью \hat{\psi}^{(n)}, напишем \hat{\rho}\left(0\right)=\sum\limits_{n}c_n\hat{\psi}^{(n)}, где c_n=\left(\hat{\psi}^{(n)},\hat{\rho}\left(0\right)\right) (спектр предполагается дискретным). В итоге получим

\hat{\rho}\left(t\right)=\sum\limits_{n}e^{-itL^{(n)}}c_n\hat{\psi}^{(n)}

См также

  • Частичная функция распределения

Литература




Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Функция распределения (статистическая механика)" в других словарях:

  • Функция распределения (статистическая физика) —     Статистическая физика …   Википедия

  • СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА — раздел физики, посвящённый изучению св в макроскопич. тел, т. е. систем, состоящих из очень большого числа одинаковых ч ц (молекул, атомов, эл нов и т. д.), исходя из св в этих ч ц и вз ствий между ними. Изучением макроскопич. тел занимаются и др …   Физическая энциклопедия

  • СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА — функция, используемая в равновесной статистич. физике, равная нормировочной константе в выражении для плотности (или матрицы плотности в случае квантовой системы) в каноническом гиббсовском ансамбле. 1) В случае классич. системы плотность… …   Математическая энциклопедия

  • Статистическая физика —         раздел физики, задача которого выразить свойства макроскопических тел, т. е. систем, состоящих из очень большого числа одинаковых частиц (молекул, атомов, электронов и т.д.), через свойства этих частиц и взаимодействие между ними.… …   Большая советская энциклопедия

  • Статистическая физика —     Статистическая физика …   Википедия

  • МЕХАНИКА — раздел физики, в котором изучается движение тел под действием сил. Механика охватывает очень широкий круг вопросов в ней рассматриваются объекты от галактик и систем галактик до мельчайших, элементарных частиц вещества. В этих предельных случаях… …   Энциклопедия Кольера

  • Механика квантовая — Квантовая механика Принцип неопределённости Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

  • Квантовая механика —     Квантовая механика …   Википедия

  • КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ — в статистической физике ф ция, определяющая вероятность относит. расположения комплекса из s любых молекул жидкости или газа; при s=2 К. ф. наз. парной или бинарной. Появление корреляций в расположении молекул среды связано с тем, что в ближайшем …   Физическая энциклопедия

  • КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ — в статистической механике функция, описывающая влияние частиц или групп частиц друг на друга и эффекты взаимодействия подсистем рассматриваемой системы. В классической статистич. механике К. ф. G2(l, 2), G3(l, 2.3), ... определяются соотношениями …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»