Полюс (комплексный анализ)

У этого термина существуют и другие значения, см. Полюс.

Модуль Гамма-функции $\Gamma(z)$. Слева (Re z<0) у функции есть полюса, в них она стремится к бесконечности. Справа (Re z>0) полюсов нет, функция всюду конечна.

Изолированная особая точка $z_0$ называется полюсом функции $f(z)$, голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, если существует предел

$\lim_{z \to {z_0}}f(z) = \infty$.

Критерии полюса

• Точка $z_{0}$ является полюсом тогда, и только тогда, когда в разложении функции $f(z)$ в ряд Лорана в проколотой окрестности точки $z_0$ главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, то есть

$f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} {f_k}(z-z_0)^k = P(z)+f_{-n}(z-z_0)^{-n}+ \ldots + f_{-1}(z-z_0)^{-1}$,

где $P(z)$ — правильная часть ряда Лорана. Если $f_{-n} \ne \ 0$, то $z_0$ называется полюсом порядка $n$. Если $n=1$, то полюс называется простым.

• Точка $z_{0}$ является полюсом порядка $k$ тогда и только тогда, когда $\lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^{k-1} = \infty$, а $\lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^k \ne \infty$
• Точка $z_{0}$ является полюсом порядка $k$ тогда и только тогда, когда она является для функции $F(z)=\frac{1}{f(z)}$ нулем порядка $k$

См. также

• Нуль (комплексный анализ)
• Мероморфная функция
• Вычет
• Интегральная формула Коши

• Другие типы изолированных особых точек:
  • Устранимая особая точка
  • Существенно особая точка

Литература

• Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
• Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.