Полунорма

Полунорма или преднорма — обобщение понятия норма; в отличие от последней, полунорма может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.

Определение

Полунормой называется функция $p\colon L \to\R$, в линейном пространстве $L$ над полем вещественных или комплексных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Абсолютная однородность: $p(\alpha x)=|\alpha|p(x)$ для любого скаляра $\alpha$
2. Неравенство треугольника: $p(x+y) \leqslant p(x)+p(y)$ для всех $x, y \in L$

Пространство ${(L,\; p)}$ называется полунормированным пространством.

Свойства

• $p(0)=0$

Это свойство следует из первого условия определения и равенства $0_{\R} \cdot 0_L = 0_L$, здесь первый нуль принадлежит полю вещественных или комплексных чисел, а второй и третий — пространству $L$:

$p(0_L)=p(0_\R \cdot 0_L) = |0_\R| \cdot p(0_L) = 0_\R$ (где $0_L = 0_\R \cdot 0_L$ следует из линейности $L$)

• $p(x)=p(-x)$

Это свойство также получается из первого условия при $\alpha = -1$.

• $p(x) \geqslant 0$

Если предположить существование такого $x^*$, что $p(x^*) < 0$, то из первого условия определения следует, что и $p(-x^*) < 0$. Воспользовавшись вторым условием, $p(0) = p(x^*-x^*) \leqslant p(x^*) + p(-x^*) < 0$ получаем противоречие с первым свойством.

Литература

• Рудин У. Функциональный анализ, пер. с англ., — М., 1975.