Билинейная форма

Пусть $\,L$ есть векторное пространство над полем $\,K$ (чаще всего рассматриваются поля $K=\mathbb R$ и $K=\mathbb C$).

Билинейной формой называется функция $F\colon L\times L\to K$, линейная по каждому из аргументов:

$~F(x+z, y)=F(x,y)+F(z,y)$,

$~F(x, y+z)=F(x,y)+F(x,z)$,

$~F(\lambda x, y)=\lambda F(x,y)$,

$~F(x, \lambda y)=\lambda F(x,y)$,

здесь $x,y,z \in L$ и $\lambda \in K.$

Билинейная форма — частный случай понятия тензора (тензор ранга (2,0)).

Связанные определения

• Билинейная форма $~F$ называется симметричной, если $~F(x,y)=F(y,x)$ для любых векторов $x,y\in L$.
• Билинейная форма $~F$ называется кососимметричной (антисимметричной), если $~F(x,y)=-F(y,x)$ для любых векторов $x,y\in L$.
• Вектор $x\in L$ называется ортогональным подпространству $M \subset L$ относительно $~F$, если $~F(x,y)=0$ для всех $y\in M$. Совокупность векторов $x\in L$, ортогональных подпространству $M \subset L$ относительно данной билинейной формы $~F$, называется ортогональным дополнением подпространства $M \subset L$ относительно $~F$ и обозначается $~M^{\perp}$.
• Радикалом билинейной формы $~F$ называется ортогональное дополнение самого пространства $~L$ относительно $~F$, то есть совокупность $~L^{\perp}$ векторов $x\in L$, для которых $~F(x,y)=0$ при всех $y\in L$.

Свойства

• Множество всех билинейных форм $W(L,L)$, заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
• Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
• При выбранном базисе $e_1,\ldots,e_n$ в $L$ любая билинейная форма $~F$ однозначно определяется матрицей

$\begin{pmatrix} F(e_1, e_1) & F(e_1, e_2) & \ldots & F(e_1, e_n) \\ F(e_2, e_1) & F(e_2, e_2) & \ldots & F(e_2, e_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ F(e_n, e_1) & F(e_n, e_2) & \ldots & F(e_n, e_n) \end{pmatrix},$

так что для любых векторов $x=x^1 e_1+x^2 e_2+\cdots+x^n e_n$ и $y=y^1 e_1+y^2 e_2+\cdots+y^n e_n$

$F(x,y)=\begin{pmatrix} x^1 & x^2 & \ldots & x^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F(e_1, e_1) & F(e_1, e_2) & \ldots & F(e_1, e_n) \\ F(e_2, e_1) & F(e_2, e_2) & \ldots & F(e_2, e_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ F(e_n, e_1) & F(e_n, e_2) & \ldots & F(e_n, e_n) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y^1 \\ y^2 \\ \vdots \\ y^n \end{pmatrix},$

то есть

$F(x,y) = \sum_{i,j=1}^n f_{ij}\, x^i y^j, \ \quad f_{ij} = F(e_i, e_j).$

• Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.
• Размерность пространства $\,W(L,L)$ есть $\,\dim W(L,L)=(\dim L)^2$.
• Несмотря на то, что матрица билинейной формы $~F$ зависит от выбора базиса, ранг матрицы билинейной формы в любом базисе один и тот же, он называется рангом билинейной формы $~F$. Билинейная форма называется невырожденной, если ее ранг равен $\,\dim L$.
• Для любого подпространства $M \subset L$ ортогональное дополнение $~M^{\perp}$ является подпространством $M^{\perp} \subset L$.
• $\dim L^{\perp} = \dim L - r$, где $\,r$ — ранг билинейной формы $~F$.

Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе $~X^i$ выражаются через координаты в новом $~x^i$ через матрицу $~\beta$ $~X^i = \sum \beta^i_j x^j$, или в матричной записи $~X = \beta x$, то билинейная форма $~F$ на любых векторах $~x$ и $~y$ запишется, как

$F(x,y) = \sum_{i,j} F_{ij} X^i Y^j = \sum_{i,j,k,m} F_{ij} \beta^i_k \beta^j_m x^k y^m$,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

$f_{km} = \sum_{i,j} F_{ij} \beta^i_k \beta^j_m$,

или, в матричной записи:

$~f = \beta^T F \beta$,

$~\beta = \alpha^{-1}$, где $~\alpha$ — матрица прямого преобразования координат $~x = \alpha X$.

См. также

• Квадратичная форма
• Билинейная операция
• Билинейное преобразование

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.