- U(1)
-
(унитарная группа порядка 1) в математике — мультипликативная абелева группа всех комплексных чисел, равных по модулю единице:
. Является также одномерной группой Ли и представляет собой окружность. Изоморфна группе
вращений двумерного вещественного пространства.
Содержание
Названия и обозначения
Группа называется унитарной, так как комплексное число, по модулю равное единице, можно понимать как унитарную матрицу размера
. Данная группа естественным образом изоморфна группе
вращений вещественной плоскости (так как комплексную плоскость можно рассматривать как вещественное двумерное пространство). Обозначается иногда как
или
в связи с тем, что квадрат этой группы
представляет собой тор; в некоторых областях математики торами называют произведения нескольких групп
, не обязательно двух; см. напр. Максимальный тор.
упоминается также как комплексная (единичная) окружность (в комплексном анализе:
) или просто «окружность» (
или
).
Некоторые свойства
Группа
компактна, и является единственно возможной (вещественной) одномерной компактной и связной группой Ли. В любой компактной группе Ли положительной размерности можно найти подгруппу, изоморфную
.
Группа
не является односвязной.
Элементарное толкование
Элементы группы
определяют, фактически, величину угла: комплексное число
можно записать как
(причём
будет уже вещественным), а умножение комплексных чисел перейдёт в сложение углов. Таким образом, группу
можно понимать как группу поворотов окружности, или же группу поворотов
всей плоскости вокруг начала координат.
Углы, различающиеся на целое число оборотов (
, если мерить угол в радианах), будут совпадать. Например, сумма двух поворотов на
и
будет равна нулю. Таким образом, группа
изоморфна фактор-группе
группы вещественных чисел по модулю
. Если измерять угол в оборотах (
), то
— группа дробных частей вещественных чисел.
Применение
является важнейшим объектом в теории двойственности Понтрягина; через неё определяется преобразование Фурье. Часто используется в любом контексте, вовлекающем комплексные числа, зачастую без прямого её упоминания как группы («умножение на число, по модулю равное единице» и т. д.).
В физике калибровочная
-теория — электродинамика (с уравнениями Максвелла в качестве классических уравнений движения). В квантовой механике
— «физически неразличимые» преобразования вектора состояния системы, не меняющие ничего наблюдаемого (то есть не меняющие ничего, в принципе доступного наблюдению). См. также Калибровочная инвариантность.
См. также
Категория:- Группы Ли
Wikimedia Foundation. 2010.