Случайное множество

Случайное множество

Случайное множество — измеримое отображение K семейства элементарных исходов произвольного вероятностного пространства (\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P}) в некоторое пространство \mathcal{M}, элементами которого являются множества.

Существуют различные уточнения понятия. Случайное множество в зависимости от структуры множества значений. Так, если \mathcal{M} — топологическое пространство, то измеримость понимается в борелевском смысле. Наиболее распространёнными являются случаи:

  • \mathcal{M}=\mathcal{F} — топологическое пространство замкнутых множеств (некоторого топологического пространства S, называемого базовым), тогда случайное множество есть случайное замкнутое множество;
  • \mathcal{M}=\mathcal{O} — топологическое пространство открытых множеств, тогда С.м. есть случайное открытое множество;
  • \mathcal{M}=\mathcal{H} — топологическое пространство пар (внутренность множества, замыкание множества); здесь приходят к так называемым случайным физически различным множествам[1]
  • \mathcal{M}=\mathcal{K} — топологическое пространство компактных множеств, при этом получают случайное компактное множество;
  • \mathcal{M}={\rm conv}(\mathcal{K}) — подпространство выпуклых элементов \mathcal{K}, при этом получают случайное выпуклое множество.

Для задания распределения случайного замкнутого множества используется сопровождающий функционал, в терминах которого удобно описывать многие свойства случайного множества. Теория случайных открытых, компактных и физически различимых множеств с помощью стандартных переформулировок получается из теории случайных замкнутых множеств.

Для решения некоторых задач достаточно использовать значения сопровождающего функционала на конечных множествах — так называемый точечный закон распределения случайного множества, который в общем случае не определяет однозначно распределение случайного множества. Существует, однако, класс сепарабельных случайных множества, для которых точечный закон полностью задаёт распределение: это случайное множетсво K со свойством K = \overline{K \cap D}, где D счётно и всюду плотно в S.

Важными частными классами случайного множества являются случайные безгранично делимые множества, случайные гауссовские множества, случайные изотропные множества, случайные полумарковские множества, случайные стационарные множества, случайные устойчивые множества.

Существуют и другие способы определения случайного множества, не требующие задания предварительной (базовой) топологии; важнейшие из них: способ Кендалла, основанный на понятии «ловушки»[2]; метод сведения к случайным функциям (например, опорным функциям в случае выпуклости множеств); способ, использующий метрику Колмогорова-Хемминга (меру симметрической разности множеств).

Наиболее развитыми разделами теории С.м. являются предельные теоремы для случайных множеств, а также различные определения и методы вычисления числовых характеристик и сет-характеристик распределений С.м. (Средние множества, Сет-среднее, Сет-медиана, Сет-ожидание и т.п.).

Литература

  1. Матерон Ж. (1978) Случайные множества и интеrральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир.
  2. Kendall D.G. (1974) в кн: Stochastic geometry, N.Y.
  • Choquet G. (1953-54) «Ann.Inst.Fourier», t.5, р. 131-295;
  • Ляшенко Н.Н. (1999) Случайное множество. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. Гл. ред. Ю.В.Прохоров. М.: БРЭ.

Wikimedia Foundation. 2010.

Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Случайное множество" в других словарях:

  • Случайное компактное множество — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Пусть множество всех компактных подмножеств …   Википедия

  • Случайное простое число — В криптографии под случайным простым числом понимается простое число, содержащее в двоичной записи заданное количество битов , на алгоритм генерации которого накладываются определенные ограничения. Получение случайных простых чисел является… …   Википедия

  • Случайный элемент — обобщение понятия случайной величины. Термин был введён, по видимому, М.Фреше (1948), отмечавшим, что «развитие теории вероятностей и расширение области её приложений привели к необходимости перейти от схем, где (случайные) исходы опыта могут… …   Википедия

  • СТОХАСТИЧЕСКАЯ НЕРАЗЛИЧИМОСТЬ — свойство двух случайных процессов и означающее, что случайное множество является пренебрежимым, т. е. вероятность множества что равна нулю. Если Xи Yстохастически неразличимы, то Xt = Yt (для всех т. е. Xи Y стохастически эквивалентны). Обратное …   Математическая энциклопедия

  • МАРКОВА ЦЕПИ НУЛЕВОЙ КЛАСС СОСТОЯНИЙ — множество Ксостояний однородной цепи Маркова с множеством состояний Sтакое, что: для любых для любых и для любого где время возвращения в состояние г: для цепей Маркова с дискретным временем и …   Математическая энциклопедия

  • ACE Encrypt — ACE (Advanced Cryptographic Engine)  набор программных средств, реализующих шифрование в режиме схемы шифрования с открытым ключом, а также в режиме цифровой подписи. Соответствующие названия этих режимов  «ACE Encrypt» и «ACE Sign».… …   Википедия

  • Марковская сеть — Марковская сеть, Марковское случайное поле, или неориентированная графическая модель  это графическая модель, в которой множество случайных величин обладает Марковским свойством, описанным неориентированным графом. Марковская сеть отличается …   Википедия

  • Задача о разорении игрока — Задача о разорении игрока  задача из области теории вероятностей. Подробно рассматривалась российским математиком А. Н. Ширяевым в монографии «Вероятность»[1] …   Википедия

  • Коэффициент корреляции — (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… …   Энциклопедия инвестора

  • Пушкин, Александр Сергеевич — — родился 26 мая 1799 г. в Москве, на Немецкой улице в доме Скворцова; умер 29 января 1837 г. в Петербурге. Со стороны отца Пушкин принадлежал к старинному дворянскому роду, происходившему, по сказанию родословных, от выходца "из… …   Большая биографическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»