ДВОЙНЫЕ И ДУАЛЬНЫЕ ЧИСЛА это:

ДВОЙНЫЕ И ДУАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

- гиперкомплексные числа вида a+, где аи b- действительные числа, и для двойных чисел е 2= + 1, а для дуальных чисел е 2=0. Сложение Д. и д. ч. определяется формулой

Умножение двойных чисел производится по формуле

а дуальных чисел - по формуле

Комплексные числа, двойные числа и дуальные числа наз. также комплексными числами гиперболического, эллиптического и параболического типов соответственно. Иногда при помощи этих чисел изображают движения трехмерных пространств Лобачевского, Римана и Евклида (см., напр., Винтовое исчисление).

Как двойные, так и дуальные числа образуют двумерные (с базой 1 и е)ассоциативно-коммутативные алгебры над полем действительных чисел. В отличие от поля комплексных чисел эти алгебры содержат делители нуля, причем в алгебре двойных чисел все делители нуля имеют вид Алгебра двойных чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей действительных чисел. С этим свойством связано еще одно название двойных чисел - расщепляемые комплексные числа. Встречается и другое наименование двойных чисел - паракомплексные числа. Алгебра дуальных чисел рассматривается не только над полем Rдействительных чисел, но и над произвольным полем или коммутативным кольцом. Пусть A - коммутативное кольцо с единице и Месть А-модуль. Прямая сумма А-модулей А M. относительно умножения

является коммутативной А-алгеброй и обозначается IA (М). Она наз. алгеброй дуальных чисел относительно модуля М. A -модуль Мотождествляется с идеалом алгебры IA (М), служащим ядром пополняющего гомоморфизма

При этом квадрат М 2 данного идеала равен нулю, а Если А- регулярное кольцо, то верно и обратное: если Весть А-алгебра и М- идеал в Втакой, что M2=0 и то где Мрассматривается как А -модуль (см. [4]).

При М=А алгебра IA (М)(обозначаемая в этом случае IA )изоморфна факторалгебре алгебры многочленов (Т)по идеалу Т 2. Многие свойства A-модуля Мможно переформулировать как свойства алгебры 1A (М), что позволяет сводить многие вопросы об А-модулях к соответствующим вопросам в теории колец (см. [2]).

Если В- произвольная A-алгебра, - гомоморфизм и д:.- дифференцирование В со значением в A-модуле М, рассматриваемом как В- модуль относительно гомоморфизма j, то отображение является гомоморфизмом А-алгебры. Обратно, для любого гомоморфизма A-алгебр f композиция где - проекция А на М, является A-дифференцированием Всо значением в М, рассматриваемом как B-модуль относительно гомоморфизма Это свойство Д. и д. ч. используется для определения касательного пространства к произвольному функтору на категории схем [1], [3].

Лит.:[1] Мамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; [2] Fossum R., Trivial extensions of abelian categories, В., 1975; [3] Sсhemas en sroupes, I, B., 1970; [4] LichtenbaumS., Schlessinger M., "Trans. Amer. Math. Soc", 1967. v. 128, № 1, p. 41-70.

И. В. Долгачев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДВОЙНЫЕ И ДУАЛЬНЫЕ ЧИСЛА" в других словарях:

  • Дуальные числа — или (гипер)комплексные числа параболического типа гиперкомплексные числа вида , где и   вещественные числа, и . Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел и . Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную …   Википедия

  • Двойные числа — О гиперкомплексных числах параболического типа см. дуальные числа Двойные числа или паракомплексные числа, расщепляемые комплексные числа, комплексные числа гиперболического типа  гиперкомплексные числа вида « », где и   вещественные… …   Википедия

  • Числа Кэли — Алгебра Кэли  определённый тип гиперкомплексных чисел, 8 мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается , поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами. Число Кэли  это линейная комбинация… …   Википедия

  • Конструктивные способы определения вещественного числа — При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты,… …   Википедия

  • Комплексные числа — Запрос «Комплексные числа» перенаправляется сюда. Cм. также другие значения. Комплексные[1][2] числа  расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где… …   Википедия

  • Мнимые числа — Запрос «Комплексные числа» перенаправляется сюда. Cм. также другие значения. Комплексные[1][2] числа  расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где… …   Википедия

  • Натуральные числа — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления). Существуют два подхода к определению натуральных чисел числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй,… …   Википедия

  • Рациональные числа — Четверти Рациональное число (лат. ratio отношение, деление, дробь) число, представляемое обыкновенной дробью , где m целое число, а n натуральное число. При этом число m называется числителем, а число n знаменателем дроби . Таку …   Википедия

  • Простые числа — Простое число это натуральное число, которое имеет ровно 2 различных делителя (только 1 и самого себя). Все остальные числа, не равные единице, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на… …   Википедия

  • Супернатуральные числа — (иногда также именумые обобщённые натуральные числа или числа Стейница) являются обобщением натуральных чисел. Супернатуральное число является формальным произведением: где может быть любым простым числом, а каждое является или натуральным числом …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»