Представление группы

У этого термина существуют и другие значения, см. Представление.

Не следует путать с заданием группы.

Представле́ние гру́ппы (точнее, линейное представление группы) — гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

Определение

Пусть $G$ — заданная группа и $W$ — векторное пространство. Тогда представление группы $G$ — это отображение, ставящее в соответствие каждому элементу $g\in G$ невырожденное линейное преобразование $A_g: W \to W,$ причем выполняются свойства

$A_{gh} = A_g \, A_h, \ \, A_{g^{-1}} = A_g^{-1} \quad (\forall g,h\in G).$

Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений (групп). Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры. Этим объясняется большая роль теории представлений в различных вопросах алгебры и других разделов математики. Например, одномерные представления симметрической группы $S_n$ и знакопеременной группы $A_n$ играют большую роль при доказательстве невозможности разрешения в радикалах алгебраического уравнения степени выше 4. В квантовой механике важную роль играют бесконечномерные (в которых векторное пространство — гильбертово) представления групп (в первую очередь, группы Лоренца).

Связанные определения

• Пусть $A:G\to\operatorname{Aut}(W)$ есть представление группы $G$, здесь $\operatorname{Aut}(W)$ — группа невырожденных линейных преобразований (автоморфизмов) пространства $W$. Размерностью представления $A$ называется размерность векторного пространства $(\dim W).$

• Представления $A:G\to\operatorname{Aut}(W)$ и $A':G\to\operatorname{Aut}(W')$ одной и той же группы $G$ называются эквивалентными, если существует такой изоморфизм $C: W' \to W$ векторных пространств, что $A'_g=C^{-1} A_g C \ (\forall g \in G).$ Отсюда следует, в частности, что эквивалентные представления имеют одинаковую размерность. Обычно представления рассматриваются с точностью до эквивалентности.

• Представление $A:G\to\operatorname{Aut}(W)$ называется прямой суммой представлений $A^{(i)}:G\to\operatorname{Aut}(W_i), \ i=1,\ldots, n,$ если $W=W_1\oplus \cdots \oplus W_n$ (здесь знак $\oplus$ означает прямую сумму векторных пространств), причём для каждого $g\in G$ подпространство $W_i \subset W$ инвариантно относительно преобразования $A_g: W\to W$ и индуцированное ограничением $A_g$ на $W_i$ представление $G\to\operatorname{Aut}(W_i)$ эквивалентно $A^{(i)}.$

Типы представлений

• Представление называется точным, если ядро соответствующего гомоморфизма состоит лишь из единичного элемента.
• Представление группы $G$ называется приводимым, если в векторном пространстве $W$ есть подпространство, отличное от нулевого и самого $W,$ инвариантное для всех преобразований $A_g: W \to W\quad$ $(\forall g \in G).$ В противном случае представление называется неприводимым или простым. Теорема Машке утверждает, что конечномерные представления конечных групп над полем характеристики ноль (или положительной, но не делящей порядок группы) всегда раскладываются в прямую сумму неприводимых.
• Всякое неприводимое представление коммутативной группы над полем комплексных чисел одномерно. Такие представления называются характерами.
• Представление называется регулярным, если $W$ — пространство функций на группе $G$ и линейное преобразование $A_g: W \to W$ ставит в соответствие каждой функции $f(\omega), \ \omega \in G,$ функцию $f(g\omega), \ \omega \in G.$
• Представление называется унитарным относительно некоторого эрмитова скалярного произведения в пространстве $W$ над полем $\mathbb{C}$, если все преобразования $A_g: W \to W\quad$ $(\forall g \in G)$ являются унитарными. Представление называется унитаризуемым, если в векторном пространстве $W$ (над полем $\mathbb{C}$) множно ввести такое эрмитово скалярное произведение, относительно которого оно является унитарным. Любое представление конечной группы $G$ унитаризуемо: достаточно выбрать в пространстве $W$ произвольное эрмитово скалярное произведение $\langle x,y \rangle$ и определить искомое эрмитово скалярное произведение формулой $(x,y) = \sum_{g\in G} \langle A_g(x),A_g(y) \rangle.$
• Если $G$ ― топологическая группа, то под представлением $G$ обычно понимается непрерывное линейное представление группы $G$ в топологическом векторном пространстве.

Примеры

• Унитарная группа U(1) может быть представлена как группа вращений двумерного пространства вокруг центра.
• Представление симметрической группы $S_n$ может быть получено следующим образом. Выберем в векторном пространстве $W$ размерности $n$ базис $e_1, \ldots, e_n$. Для каждой перестановки $g\in S_n: \ (1,\ldots,n) \mapsto (i_1,\ldots,i_n)$ определим линейное преобразование $A_g: W \to W,$ переводящее базисный вектор $e_k\,$ в базисный вектор $e_{i_k},$ где $k=1,\ldots, n.$ Таким образом получается $n$-мерное представление группы $S_n.$
• Неприводимое двумерное представление группы $S_3$ можно получить, выбрав в плоскости $W$ базис $e_1, e_2,\,$ положив вектор $e_3=-(e_1+e_2)\,$ и определив для каждой перестановки $g\in S_3: \ (1,2,3) \mapsto (i_1,i_2,i_3)$ линейное преобразование $A_g: W \to W$, переводящее $e_1\,$ в $e_{i_1}$ и $e_2\,$ в $e_{i_2}.$

Вариации и обобщения

В более широком смысле, под представлением группы может пониматься гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований некоторого множества $X$. Например:

• Проективное представление группы — гомоморфизм группы в группу проективных преобразований проективного пространства.

Литература

• Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп, — Любое издание.
• Винберг Э. Б. Линейные представления групп, — Любое издание.
• Наймарк М. А. Теория представлений групп, — Любое издание.
• Березин Ф. А., Гельфанд И. М., Граев М. И., Наймарк М. А. Представления групп
• Шейнман О. К. Основы теории представлений, — М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.