Действия с числовыми рядами

Действия с числовыми рядами — некоторые (арифметические или перестановочные) манипуляции с одним или несколькими числовыми рядами. Эти действия могут сохранять или нарушать вид сходимости.

Сохраняющий условную сходимость

Выделяют следующие действия с числовыми рядами (они имеют смысл, то есть сохраняют сумму ряда, только если она существует):

Линейная комбинация рядов

Если ряды $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ и $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ сходятся, то сходится и ряд $\sum_{k=1}^{\infty} (\alpha a_k + \beta b_k)$ (α, β — постоянные), при этом

$\sum_{k=1}^{\infty} (\alpha a_k + \beta b_k) = \alpha \sum_{k=1}^{\infty} a_k+ \beta \sum_{k=1}^{\infty} b_k$

Группировка членов ряда

Сгруппируем слагаемые ряда $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$, объединив без изменения порядка следования по нескольку (конечное число) членов ряда. Получим некоторый новый ряд $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$. Раскрытие скобок в ряде в общем случае недопустимо, однако: если после раскрытия скобок получается сходящийся ряд, то раскрытие скобок возможно; если в каждой скобке все слагаемые имеют один и тот же знак, то раскрытие скобок не нарушает сходимости и не изменяет величину суммы.

Другие

Перемножение рядов

Пусть имеются два ряда $u_0+\sum_{k=1}^{\infty} u_k$ и $v_0+\sum_{k=1}^{\infty} v_k$. Тогда их можно перемножить, используя правило Коши: $w_n=\sum_{k=0}^{n} {u_k v_{n-k}}$. В случае, если ряды $\sum_{k=1}^{\infty} u_k$ и $\sum_{k=1}^{\infty} v_k$ имеют неотрицательные члены и один из них сходится абсолютно,а другой сходится, то и полученный ряд $\sum_{k=1}^{\infty} w_k$ будет сходящимся (по теореме Мертенса).

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Перестановка членов ряда

• Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.
• Если ряд сходится условно, то для любого наперёд заданного A (в том числе $A = +\infty$, $A = -\infty$, $A = \infty$) можно так переставить члены этого ряда, что преобразованный ряд сходится к A (расходится к $+\infty$, $-\infty$, $\infty$) либо не имеет предела (теорема Римана).

См. также

• Методы интегрирования