Правильная часть ряда Лорана
- Правильная часть ряда Лорана
-
Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням (z − a), то есть ряд вида

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:
— правильная часть ряда Лорана и
— главная часть ряда Лорана.
При этом, ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части.
Свойства
- Если внутренность области сходимости ряда Лорана непуста, то она представляет собой круговое кольцо
-

- Во всех точках своего кольца сходимости D ряд Лорана сходится абсолютно;
- Как и для степенных рядов, поведение ряда Лорана в точках граничных окружностей кольца сходимости может быть самым разнообразным;
- На любом компактном подмножестве
ряд сходится равномерно;
- Сумма ряда Лорана в D есть аналитическая функция f(z);
- Ряд Лорана можно дифференцировать и интегрировать в D почленно;
- Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если суммы двух рядов Лорана совпадают в D, то совпадают и все коэффициенты этих рядов.
- Коэффициенты an ряда Лорана определяются через его сумму f(z) формулами
-

- где γ(t) = ρet,
, r < ρ < R — любая окружность с центром a, расположенная внутри кольца сходимости.
Теорема Лорана
Применение ряд Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:
Любая однозначная аналитическая функция f(z) в кольце
представима в D сходящимся рядом Лорана.
В частности, в проколотой окрестности

изолированной особой точки a однозначная аналитическая функция f(z) представима рядом Лорана, который служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности изолированной особой точки.
Тип особой точки определяется главной частью ряда Лорана в кольце с центром в этой точке:
Литература
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
Wikimedia Foundation.
2010.
Полезное
Смотреть что такое "Правильная часть ряда Лорана" в других словарях:
Лорана ряд — Ряд Лорана двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням (z − a), то есть ряд вида Этот ряд понимается как сумма двух рядов: правильная часть ряда Лорана и главная часть ряда Лорана. При этом, ряд Лорана считается сходящимся тогда… … Википедия
ЛОРАНА РЯД — обобщение степенного ряда по целым неотрицательным степеням разности z а или по целым неположительным степеням z а в виде Ряд (1) понимается как сумма двух рядов: правильная часть Л. р. и главная часть Л. р. Ряд (1) считается сходящимся тогда и… … Математическая энциклопедия
Ряд Лорана — Ряд Лорана двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням , то есть ряд вида Этот ряд понимается как сумма двух рядов: положительная часть ряда Лорана (иногда называется правильной) и отрицательная часть ряда Лорана… … Википедия
Полюс (комплексный анализ) — У этого термина существуют и другие значения, см. Полюс. Модуль Гамма функции . Слева (Re z<0) у функции есть полюса, в них она стремится … Википедия
Полюс (Комплексный анализ) — Изолированная особая точка z0 называется полюсом f(z), если в разложении этой функции в ряд Лорана в проколотой окрестности точки z0 главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, т.е. , где P(z) правильная часть ряда Лорана. Если … Википедия
Полюс (ТФКП) — Изолированная особая точка z0 называется полюсом f(z), если в разложении этой функции в ряд Лорана в проколотой окрестности точки z0 главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, т.е. , где P(z) правильная часть ряда Лорана. Если … Википедия
Полюс (математика) — Изолированная особая точка z0 называется полюсом f(z), если в разложении этой функции в ряд Лорана в проколотой окрестности точки z0 главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, т.е. , где P(z) правильная часть ряда Лорана. Если … Википедия
ИЗОЛИРОВАННАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА — для элемента аналитической функции f(z) точка акомплексной плоскости z, относительно к рой выполняются условия: 1) этот элемент функции f(z)не допускает аналитического продолжения по какому либо пути в точку я; 2) существует такое число R>0,… … Математическая энциклопедия
Россия. Русская наука: Химия — Изучение химии в России формально ведет свое начало с учреждения в 1725 г. в СПб. Академии наук. В 1727 г. в качестве натуралиста и химика был приглашен сын тюбингенского аптекаря Иоганн Георг Гмелин, проведший почти все время своего пребывания в … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона