Правильная часть ряда Лорана

Правильная часть ряда Лорана

Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням (za), то есть ряд вида

\sum_{n\in \Z}a_n(z-a)^n

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

  1. \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n — правильная часть ряда Лорана и
  2. \sum_{n=-\infty}^{-1}{a_{n}}{(z-a)^n} — главная часть ряда Лорана.

При этом, ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части.

Свойства

  • Если внутренность области сходимости ряда Лорана непуста, то она представляет собой круговое кольцо
D= \{z\in\mathbb C|r<|z-a|<R<\infty\}
  • Во всех точках своего кольца сходимости D ряд Лорана сходится абсолютно;
  • Как и для степенных рядов, поведение ряда Лорана в точках граничных окружностей кольца сходимости может быть самым разнообразным;
  • На любом компактном подмножестве K\subset D ряд сходится равномерно;
  • Сумма ряда Лорана в D есть аналитическая функция f(z);
  • Ряд Лорана можно дифференцировать и интегрировать в D почленно;
  • Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если суммы двух рядов Лорана совпадают в D, то совпадают и все коэффициенты этих рядов.
  • Коэффициенты an ряда Лорана определяются через его сумму f(z) формулами
a_n=\frac1{2\pi i}\int\limits_\gamma\frac{f(z)\,dz}{(z-a)^{n+1}}
где γ(t) = ρet, t\in [0,2\pi], r < ρ < R — любая окружность с центром a, расположенная внутри кольца сходимости.

Теорема Лорана

Применение ряд Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая однозначная аналитическая функция f(z) в кольце D= \{z\in\mathbb C\,|\,r&amp;lt;|z-a|&amp;lt;R&amp;lt;\infty\} представима в D сходящимся рядом Лорана.

В частности, в проколотой окрестности

D= \{z\in\mathbb C\,|\,0&amp;lt;|z-a|&amp;lt;R&amp;lt;\infty\}

изолированной особой точки a однозначная аналитическая функция f(z) представима рядом Лорана, который служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности изолированной особой точки.

Тип особой точки определяется главной частью ряда Лорана в кольце с центром в этой точке:

Литература

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Правильная часть ряда Лорана" в других словарях:

  • Лорана ряд — Ряд Лорана  двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням (z − a), то есть ряд вида Этот ряд понимается как сумма двух рядов:   правильная часть ряда Лорана и   главная часть ряда Лорана. При этом, ряд Лорана считается сходящимся тогда… …   Википедия

  • ЛОРАНА РЯД — обобщение степенного ряда по целым неотрицательным степеням разности z а или по целым неположительным степеням z а в виде Ряд (1) понимается как сумма двух рядов: правильная часть Л. р. и главная часть Л. р. Ряд (1) считается сходящимся тогда и… …   Математическая энциклопедия

  • Ряд Лорана — Ряд Лорана  двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням , то есть ряд вида Этот ряд понимается как сумма двух рядов:   положительная часть ряда Лорана (иногда называется правильной) и   отрицательная часть ряда Лорана… …   Википедия

  • Полюс (комплексный анализ) — У этого термина существуют и другие значения, см. Полюс. Модуль Гамма функции . Слева (Re z<0) у функции есть полюса, в них она стремится …   Википедия

  • Полюс (Комплексный анализ) — Изолированная особая точка z0 называется полюсом f(z), если в разложении этой функции в ряд Лорана в проколотой окрестности точки z0 главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, т.е. , где P(z) правильная часть ряда Лорана. Если …   Википедия

  • Полюс (ТФКП) — Изолированная особая точка z0 называется полюсом f(z), если в разложении этой функции в ряд Лорана в проколотой окрестности точки z0 главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, т.е. , где P(z) правильная часть ряда Лорана. Если …   Википедия

  • Полюс (математика) — Изолированная особая точка z0 называется полюсом f(z), если в разложении этой функции в ряд Лорана в проколотой окрестности точки z0 главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, т.е. , где P(z) правильная часть ряда Лорана. Если …   Википедия

  • ИЗОЛИРОВАННАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА — для элемента аналитической функции f(z) точка акомплексной плоскости z, относительно к рой выполняются условия: 1) этот элемент функции f(z)не допускает аналитического продолжения по какому либо пути в точку я; 2) существует такое число R>0,… …   Математическая энциклопедия

  • Россия. Русская наука: Химия — Изучение химии в России формально ведет свое начало с учреждения в 1725 г. в СПб. Академии наук. В 1727 г. в качестве натуралиста и химика был приглашен сын тюбингенского аптекаря Иоганн Георг Гмелин, проведший почти все время своего пребывания в …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»