Телескопический ряд

Телескопический ряд в математике — бесконечный ряд, чья сумма может быть легко получена, исходя из того, что при раскрытии скобок почти все слагаемые взаимно уничтожаются. Название дано по аналогии с стволом телескопа, который может уменьшить свою длину, сложившись несколько раз. Подобный прием подсчета суммы ряда также встречается в книгах для школьников под названием «волки скушали друг друга».^{[источник?]}

Самый известный пример такого ряда — сумма $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$, которая упрощается следующим образом:

$\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} & {} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) =\\ & {} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots= \\ & {} = 1 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots = 1. \end{align}$

Суть телескопических сумм заключается в том, что каждое слагаемое ряда представляется в виде разности и поэтому частичная сумма ряда упрощается:

$\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1}) = (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\cdots+(a_{n-1}-a_n)+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}$.

Аналогично можно представить себе «телескопическое» произведение, то есть бесконечное произведение вида:

$\prod_{i=1}^n \frac{a_{i+1}}{a_i}=\frac{a_2}{a_1}\cdot \frac{a_3}{a_2}\cdot\frac{a_4}{a_3}\cdots \frac{a_{n}}{a_{n-1}}\cdot\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_{n+1}}{a_1}$.

При суммировании условно сходящихся бесконечных рядов нужно обращать внимание, что перегруппировка слагаемых может привести к изменению результата (см. Теорема Римана об условно сходящихся рядах). Например, «парадокс» с рядом Гранди:

$0 = \sum_{n=1}^\infty 0 = \sum_{n=1}^\infty (1-1) = 1 + \sum_{n=1}^\infty (-1 + 1) = 1\,$

Этого можно избежать, если всегда рассматривать сумму первых n членов, а потом найти предел при $n\to\infty$.

Примеры

Многие тригонометрические функции позволяют представление в виде разности, что позволяет организовать взаимное уничтожение соответствующих слагаемых

$\begin{align} \sum_{n=1}^N \sin\left(n\right) & {} = \sum_{n=1}^N \frac{1}{2} \operatorname{cosec}\left(\frac{1}{2}\right) \left(2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(n\right)\right)= \\ & {} =\frac{1}{2} \operatorname{cosec}\left(\frac{1}{2}\right) \sum_{n=1}^N \left(\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right) =\\ & {} =\frac{1}{2} \operatorname{cosec}\left(\frac{1}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right). \end{align}$

• частичная сумма геометрической прогрессии:

$(x-1)\sum_{k=0}^n x^k=\sum_{k=0}^n(x^{k+1}-x^k)=x^{n+1} - 1.$

• иногда приходится применять «телескопическое» преобразование два раза:

$\begin{align} (x-1)^2\sum_{k=1}^n kx^{k-1} &= \sum_{k=1}^n(kx^{k+1} - 2kx^k + kx^{k-1}) = \\ &=\sum_{k=1}^n [kx^{k+1}-(k-1)x^k] - \sum_{k=1}^n [(k+1)x^k-kx^{k-1}] = nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1 \end{align}$.

Другой метод вычисления этой суммы — представить слагаемые в виде производной от геометрической прогрессии:

$\sum_{k=1}^n kx^{k-1} = \frac{\rm d}{{\rm d}x}\sum_{k=0}^n x^k = \frac{\rm d}{{\rm d}x}\frac{x^{n+1}-1}{x-1} = \frac{(n+1)x^n(x-1) - (x^{n+1}-1)}{(x-1)^2} = \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1}{(x-1)^2}$.

См. также

• Преобразование ряда по Эйлеру
• Дискретное преобразование Абеля
• Ускорение сходимости