- Телескопический ряд
-
Телескопический ряд в математике — бесконечный ряд, чья сумма может быть легко получена, исходя из того, что при раскрытии скобок почти все слагаемые взаимно уничтожаются. Название дано по аналогии с стволом телескопа, который может уменьшить свою длину, сложившись несколько раз. Подобный прием подсчета суммы ряда также встречается в книгах для школьников под названием «волки скушали друг друга».
Самый известный пример такого ряда — сумма
, которая упрощается следующим образом:
Суть телескопических сумм заключается в том, что каждое слагаемое ряда представляется в виде разности и поэтому частичная сумма ряда упрощается:
.
Аналогично можно представить себе «телескопическое» произведение, то есть бесконечное произведение вида:
.
При суммировании условно сходящихся бесконечных рядов нужно обращать внимание, что перегруппировка слагаемых может привести к изменению результата (см. Теорема Римана об условно сходящихся рядах). Например, «парадокс» с рядом Гранди:
Этого можно избежать, если всегда рассматривать сумму первых n членов, а потом найти предел при
.
Примеры
Многие тригонометрические функции позволяют представление в виде разности, что позволяет организовать взаимное уничтожение соответствующих слагаемых
- частичная сумма геометрической прогрессии:
- иногда приходится применять «телескопическое» преобразование два раза:
-
.
Другой метод вычисления этой суммы — представить слагаемые в виде производной от геометрической прогрессии:
-
.
См. также
- Преобразование ряда по Эйлеру
- Дискретное преобразование Абеля
- Ускорение сходимости
Категории:- Дискретные преобразования
- Ряды
Wikimedia Foundation. 2010.