Полунепрерывная функция

Полунепрерывная функция
полунепрерывная сверху функция.
полунепрерывная снизу функция.

Полунепреры́вность в математическом анализе — это свойство функции более слабое, чем непрерывность. Функция полунепрерывна сверху в точке, если значения функции в близких точках не сильно превышают значение функции в ней. Функция полунепрерывна снизу в точке, если значения функции в близких точках не сильно меньше значения функции в ней.

Содержание

Определения

\varliminf_{x\to x_0}f(x)\ge f(x_0)\; \left(\varlimsup_{x\to x_0}f(x)\le f(x_0)\right).
  • Функция f называется полунепрерывной снизу (сверху) на M \subset X, если она полунепрерывна снизу (сверху) для всех x_0\in M.

Свойства

  • Функция f:X \to \R полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда множество \{x\in X \mid f(x) > a\} открыто в стандартной топологии вещественной прямой для любого a\in \R.
  • Пусть f,g:X \to \R суть две полунепрерывные снизу (сверху) функции. Тогда их сумма f+g также полунепрерывна снизу (сверху).
  • Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке x_0 функций есть полунепрерывная функция снизу (сверху) в x_0. Более точно пусть дана последовательность полуненпрерывных снизу (сверху) функций f_n: X \to \mathbb{R},\;  n\in \mathbb{N} таких, что f_{n+1}(x) \ge (\le) f_n(x)\; \forall n\in \mathbb{N}\; \forall x\in X. Тогда если существует предел \lim\limits_{n \to \infty}f_n(x) = f(x)\; \forall x \in X, то f полунепрерывна снизу (сверху).
  • Если u:X \to \mathbb{R} и v:X \to \mathbb{R} есть полунепрерывные функции соответственно снизу и сверху соответственно, и на всём пространстве выполнено
         -\infty < v(x) \le u(x) < \infty,\; x\in X,
    то существует непрерывная функция f:X \to \mathbb{R}, такая что
        v(x) \le f(x) \le u(x),\; x\in X.
  • (Теорема Вейерштрасса) Пусть дано компактное подмножество K \subset X. Тогда полунепрерывная снизу (сверху) функция f:K\to \R достигает на K своего минимума (максимума).

Примеры

  • Целая часть x\mapsto [x] является полунепрерывной сверху функцией;
  • Дробная часть x\mapsto \{x\} полунепрерывная снизу.
  • Индикатор \mathbf{1}_U произвольного открытого в топологии, порождённой метрикой \varrho, множества U \subset X является полунепрерывной снизу функцией.
  • Индикатор \mathbf{1}_V произвольного замкнутого множества V \subset X является полунепрерывной сверху функцией.

Литература

  • Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974;
  • Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949.

Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Полунепрерывная функция" в других словарях:

  • полунепрерывная функция — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN semi continuous function …   Справочник технического переводчика

  • ПОЛУНЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ — функция из первого Бэра класса. Подробнее, числовая функция f, определенная на полном метрич. пространстве X, наз. полунепрерывной снизу (сверху) в точке , если Функция f наз. полунепрерывной снизу (сверху) на X, если она. полунепрерывна снизу… …   Математическая энциклопедия

  • Полунепрерывная функция —         понятие математического анализа. П. ф. снизу (сверху) в точке х0 называется функция, для которой f (x) = f (x0) [соответственно f (x) = f (x0)]. Иначе, функция полунепрерывна снизу в точке x0, если для всякого ε > 0 найдётся такое δ > 0,… …   Большая советская энциклопедия

  • ПЛЮРИСУБГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — действительная функция u=u(z), , п комплексных переменных z=(zl,. . ., zn).в области Dкомплексного пространства , удовлетворяющая следующим условиям: 1) и(z) полунепрерывна сверху всюду в D;2) u(z0+la). есть субгармоническая функция переменного в …   Математическая энциклопедия

  • ГАРМОНИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — топология, пространство X с пучком непрерывных действительных функций с аксиоматически фиксируемыми в той или иной форме тремя основными свойствами классических гармонических функций:свойство сходимости, выражаемое второй Гарнака теоремой;принцип …   Математическая энциклопедия

  • РИССА ПОТЕНЦИАЛ — a потенциал, потенциал вида где m положительная борелевская мера с компактным носителем на евклидовом пространстве расстояние между точками . При и a=n 2 Р. п. совпадает с классическим ньютоновым потенциалом;при n=2 и предельным случаем Р. п. в… …   Математическая энциклопедия

  • СПЕКТРАЛЬНЫЙ РАДИУС — элемента банаховой алгебры радиус наименьшего круга на плоскости, содержащего спектр этого элемента. С. р. элемента асвязан с нормами его степеней формулой из к рой следует, в частности, что С. р. ограниченного оператора в банаховом пространстве… …   Математическая энциклопедия

  • ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ МЕТОД — метод сведения условно экстремальных задач к задачам безусловной оптимизации. Проиллюстрировать Ш. ф. м. можно на примере задач математического программирования. Рассматривается задача минимизации функции на множестве из п мер ного евклидова… …   Математическая энциклопедия

  • БЭРА ТЕОРЕМА — 1) Б. т. о полных пространствах: любая счетная система открытых и всюду плотных в данном полном метрическом пространстве множеств имеет непустое, п даже всюду плотное в этом пространстве пересечение. Эквивалентная формулировка: полное метрич.… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»