- Экстремум
-
Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).
Содержание
Определения
Пусть дана функция
и
— внутренняя точка области определения
Тогда
называется точкой локального максимума функции
если существует проколотая окрестность
такая, что
называется точкой локального минимума функции
если существует проколотая окрестность
такая, что
Если неравенства выше строгие, то
называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.
называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
называется точкой абсолютного минимума, если
Значение функции
называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.
Замечание
Функция
определённая на множестве
может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например,
Необходимые условия существования локальных экстремумов
- Из леммы Ферма вытекает следующее:
- Пусть точка
является точкой экстремума функции
, определенной в некоторой окрестности точки
.
- Тогда либо производная
не существует, либо
.
(Математический Анализ. Том 1. Л. Д. Кудрявцев. Москва «Высшая Школа» 1973 г.)
Достаточные условия существования локальных экстремумов
- Пусть функция
непрерывна в
и существуют конечные или бесконечные односторонние производные
. Тогда при условии
является точкой строгого локального максимума. А если
то
является точкой строгого локального минимума.
Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке
- Пусть функция
непрерывна и дважды дифференцируема в точке
. Тогда при условии
и
является точкой локального максимума. А если
и
то
является точкой локального минимума.
- Пусть функция
дифференцируема
раз в точке
и
, а
.
Если
чётно и
, то
- точка локального максимума. Если
чётно и
, то
- точка локального минимума. Если
нечётно, то экстремума нет.
См. также
Экстремум Наука Математика Максимум • Минимум • Супремум, инфимум Общество Наибольшее значение: Потолок, Верхний предел, Верхушка • Наименьшее значение: Дно, Низ, Нижний предел Изменение Увеличение — к максимуму • Уменьшение — к минимуму Прочее Середина: Золотая середина, Среднее значение • Оптимум Формализация Методы оптимизации Одномерные Метод золотого сечения • Дихотомия • Метод парабол • Перебор по сетке • Метод Фибоначчи • Троичный поиск Прямые методы Метод Гаусса • Метод Нелдера — Мида • Метод Хука — Дживса • Метод конфигураций • Метод Розенброка Первого порядка Градиентный спуск • Метод Зойтендейка • Покоординатный спуск • Метод сопряжённых градиентов • Квазиньютоновские методы • Алгоритм Левенберга — Марквардта Второго порядка Метод Ньютона • Метод Ньютона — Рафсона Стохастические Метод Монте-Карло • Имитация отжига • Эволюционные алгоритмы • Дифференциальная эволюция • Муравьиный алгоритм • Метод роя частиц Методы линейного
программированияСимплекс-метод • Алгоритм Гомори • Метод эллипсоидов • Метод потенциалов Методы нелинейного
программированияПоследовательное квадратичное программирование Категория:- Математический анализ
Wikimedia Foundation. 2010.