Экстремум

Экстремум

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Содержание

Определения

Пусть дана функция f:M \subset \R \to \R, и x_0 \in M^0 — внутренняя точка области определения f. Тогда

  • x_0 называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность \dot{U}(x_0) такая, что
    \forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \le f(x_0);
  • x_0 называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность \dot{U}(x_0) такая, что
    \forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0).

Если неравенства выше строгие, то x_0 называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

  • x_0 называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
    \forall x\in M\quad f(x) \le f(x_0);
  • x_0 называется точкой абсолютного минимума, если
    \forall x\in M\quad f(x) \ge f(x_0).

Значение функции f(x_0) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция f, определённая на множестве M, может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например, f(x) = x,\; x\in (-1,1).

Необходимые условия существования локальных экстремумов

Пусть точка x_0 является точкой экстремума функции ~f, определенной в некоторой окрестности точки x_0.
Тогда либо производная ~f'(x_0) не существует, либо ~f'(x_0) = 0.

(Математический Анализ. Том 1. Л. Д. Кудрявцев. Москва «Высшая Школа» 1973 г.)

Достаточные условия существования локальных экстремумов

  • Пусть функция f\in C(x_0) непрерывна в x_0\in M^0, и существуют конечные или бесконечные односторонние производные ~f'_+(x_0), f'_-(x_0). Тогда при условии
f'_+(x_0) < 0,\; f'_-(x_0) > 0

x_0 является точкой строгого локального максимума. А если

f'_+(x_0) > 0,\; f'_-(x_0) < 0,

то x_0 является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x_0

  • Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке x_0. Тогда при условии
~f'(x_0)=0 и ~f''(x_0) < 0

x_0 является точкой локального максимума. А если

~f'(x_0)=0 и ~f''(x_0) > 0

то x_0 является точкой локального минимума.

  • Пусть функция f дифференцируема n раз в точке x_0 и f'(x_0)=f''(x_0)=\dots =f^{(n-1)}(x_0)=0, а f^{(n)}(x_0)\ne 0.

Если n чётно и f^{(n)}(x_0)<0, то x_0 - точка локального максимума. Если n чётно и f^{(n)}(x_0)>0, то x_0 - точка локального минимума. Если n нечётно, то экстремума нет.

См. также



Wikimedia Foundation. 2010.

Помощь в написании эссе
Синонимы:

Смотреть что такое "Экстремум" в других словарях:

  • ЭКСТРЕМУМ — (от латинского extremum крайнее), общее название максимума и минимума …   Современная энциклопедия

  • ЭКСТРЕМУМ — (от лат. extremum крайнее) см. Максимум и минимум …   Большой Энциклопедический словарь

  • экстремум — сущ., кол во синонимов: 1 • термин (18) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

  • ЭКСТРЕМУМ — (от лат. extremum крайнее) англ. extreme; нем. Extremum. Значение нек рой величины или функции / (х), являющееся ее максимумом или минимумом. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 …   Энциклопедия социологии

  • экстремум — крайнее значение — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом Синонимы крайнее значение EN extreme value …   Справочник технического переводчика

  • Экстремум — (от латинского extremum крайнее), общее название максимума и минимума.   …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • Экстремум — (от лат. extremum крайнее)         значение непрерывной функции f (x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х0 функция f (x) имеет в x0 максимум (минимум), если существует окрестность (x0 + δ, x0 δ) этой точки,… …   Большая советская энциклопедия

  • экстремум — (лат. extremum крайнее) мат. наибольшие и наименьшие значения функции; употр. для объединения понятий максимума и минимума. Новый словарь иностранных слов. by EdwART, , 2009. экстремум [ < лат. estremum крайнее] – мат. наибольшие и наименьшие… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • экстремум — [рэ], а; м. [лат. extremum крайнее] Матем. Наибольшее и наименьшее значения функции, включающие понятия минимума и максимума. * * * экстремум (от лат. extremum  крайнее), см. Максимум и минимум. * * * ЭКСТРЕМУМ ЭКСТРЕМУМ (от лат. extremum… …   Энциклопедический словарь

  • экстремум — Экстремальная точка, Экстремум (Extreme point)     Самая верхняя, самая нижняя, крайняя левая и крайняя правая точки контура, то есть точки в пределах контура знака, значение координат которых по одной из осей минимальное или максимальное …   Шрифтовая терминология

Книги

Другие книги по запросу «Экстремум» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»