- ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ МЕТОД
метод сведения условно-экстремальных задач к задачам безусловной оптимизации. Проиллюстрировать Ш. ф. м. можно на примере задач математического программирования. Рассматривается задача минимизации функции
на множестве
из п-мер-ного евклидова пространства. Штрафной функцией, или штрафом (за нарушение ограничений
i - 1, 2, ..., т), наз. функция
зависящая от хи числового параметра
обладающая следующими свойствами:
если
и
если
Пусть
является любой точкой безусловного глобального минимума функции .
а X*- множеством решений исходной задачи. Функцию
выбирают таким образом, чтобы расстояние между точками
и множеством X* стремилось к нулю при
либо, если это не удается гарантировать, чтобы выполнялось соотношение
В качестве
часто выбирают функцию
Выбор конкретного вида функциисвязан как с проблемой сходимости Ш. ф. м., так и с проблемами, возникающими при решении задачи безусловной минимизации функции
В несколько более общей постановке Ш. ф. м. заключается в сведении задачи минимизации функциина множестве Xк задаче минимизации нек-рой параметрич. функции
на множестве более простой структуры, с точки зрения эффективности применения численных методов минимизации, чем исходное множество X.
Имеет место следующий весьма общий результат, иллюстрирующий универсальность Ш. ф. м. Пусть Uи V- рефлексивные банаховы пространства; R -расширенная действительная прямая;-функция, определенная на Uсо значениями в R, слабо полунепрерывная снизу; fi, i= 1,2, ..., т - функции, определенные на Uсо значениями в R, непрерывные в слабой топологии пространства U; hj, j= 1, 2, ..., п- функции, определенные на . со значениями в V, непрерывные в слабых топологиях пространств . и V; множество
i = l, 2, ..., т; hj(x) =0,
не пусто. Рассматривается задача отыскания таких
что
Для функции
при
рассматривается задача отыскания таких i = l, 2, . . ., т, что
для всех
Если
то каждая слабо предельная точка произвольной последовательности
является решением задачи (*) т, кроме того,
Лит.:[1] Моисеев Н. Н., ИваниловЮ. П., Столярова Е. М., Методы оптимизации, М., 1978; [2] Васильев Ф. П., Численные методы решения экстремальных задач, М., 1980; [3] Фиакко А. В., Мак-Кормик Г. П., Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации, пер. с англ., М., 1972; [4] Сеа Ж., Оптимизация, пер. с франц., М., 1973.
В. Р. Карманов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.