ГАРМОНИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО


ГАРМОНИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО

топология, пространство X с пучком непрерывных действительных функций с аксиоматически фиксируемыми в той или иной форме тремя основными свойствами классических гармонических функций:свойство сходимости, выражаемое второй Гарнака теоремой;принцип экстремума; разрешимость Дирихле задачи для достаточно широкого класса открытых множеств из X. Функции пучка получают наименование гармонич. функций; преимущество этого аксиоматич. подхода состоит в том, что с его помощью в теорию включаются решения не только Лапласа уравнения, но и нек-рых других уравнений эллиптич. и параболич. типов. Пусть X - локально компактное топологич. пространство. Под пучком функций на Xздесь понимается отображение определенное на семействе всех открытых множеств из и такое, что: 1) есть семейство функций на U; 2) если то сужение любой функции из (V).на Uпринадлежит ; 3) для любого семейства функция на принадлежит если для всех ее сужение на принадлежит Пучок функций наз. гипергармоническим, если для любого есть выпуклый конус полунепрерывных и конечных снизу действительных функций на . Пучок функций наз. гармоническим, если для любого есть действительное векторное пространство непрерывных функций на U;в дальнейшем используется только гармонич. пучок


Локально компактное пространство Xназ. Т. <п., если выполняются следующие аксиомы (см. [3]).

Аксиома положительности: пучок невырожден во всех точках , т. е. для любого существует функция , определенная в окрестности д-, причем .

Аксиома сходимости: если возрастающая последовательность функций из локально ограничена, то она сходится к функции из .

Аксиома разрешимости: существует базис разрешимых открытых множеств U, т. е. таких, что для любой непрерывной функции f с компактным носителем на существует обобщенное в смысле Винера - Перрона (см. Перрона метод).решение задачи Дирихле для Uиз .

Аксиома мажоранты: если полунепрерывная и конечная снизу функция на для любого относительно компактного множества такого, что удовлетворяет условию


на V, то .

Евклидово пространство с пучком клас-снч. решений уравнения Лапласа или теплопроводности уравнения образует Г. п. Имеется ряд других вариантов аксиоматики гармонич. пространств. Г. п. локально связны, не содержат изолированных точек; они имеют базис из связных разрешимых множеств.

Гипергармонич. функция ина Г. п. Xназ. супергармонической, если для любого относительно компактного разрешимого множества Vнаибольшая миноранта есть гармонич. функция. Положительная супергармонич. функция, для к-рой любая гармонич. миноранта тождественно равна нулю, наз. потенциалом. Г. п. Xназ. -гармоническим (или -гармоническим), если для любого существует положительная супергармонич. функция и(пли, соответственно, потенциал и).на Xтакая, что

Любое Г. п. допускает покрытие такими открытыми множествами U, для к-рых выполняется принцип минимума в следующей форме: если гипергармоническая функция положительна вне пересечения Uс любым компактом из Xи


для всех В случае -гармонич. пространства этот принцип минимума выполняется для всех открытых множеств. Евклидово пространство с пучком классич. решений уравнения Лапласа при образует -гармонич. пространство, а при оно образует -гармонич. пространство; пространство с пучком решений уравнения теплопроводности образует p-гармонич. пространство.

Основными вопросами теории Г. п. являются: теория разрешимости задачи Дирихле, включающая исследование поведения обобщенного решения этой задачи в граничных точках; теория емкости множеств в Г. п.; изучение проблемы выметания (см. Выметания метод).и Робе на задачи.

Лит.:[1] Вrе1оt M., Lectures on potential theory, Bombay, 1960; [2] Bauer H., Harmonische Raume imd ihre Potentialtheorie, В., 1966 (Lecture Notes in Mathematics, № 22); [3] Constantinescu C., Cornea A., Potential theory on harmonic spaces, В., 1972: [4] Брело М., О топологиях и границах в теории потенциала, пер. с англ., М., 1974.

Е. Д. Соломенцев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГАРМОНИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО" в других словарях:

  • ПРОСТРАНСТВО — П., будучи одним из важнейших элементов мифопоэтической архаичной модели мира, осмысливалось в рамках этой модели совершенно отлично от того, как оно представляется современному человечеству под воздействием научных взглядов (особенно после… …   Энциклопедия мифологии

  • ПОТЕНЦИАЛА ТЕОРИЯ АБСТРАКТНАЯ — теория потенциала на абстрактных топология, пространствах. П. т. а. возникла в сер. 20 в. из стремления охватить единым аксиоматич. методом широкое многообразие свойств различных потенциалов, применяемых при решении разнообразных задач теории… …   Математическая энциклопедия

  • Кан Луис — Кан (Kahn) Луис (р. 20.2.1901, остров Сааремаа, Эстония), американский архитектор. В 1915 принял гражданство США, в 1924 окончил Пенсильванский университет в Филадельфии. Профессор Йельского (1948‒57) и Пенсильванского (с 1957) университетов.… …   Большая советская энциклопедия

  • Кан — I (Cão)         Диогу (около 1440 г. смерти неизвестен), португальский мореплаватель. В 1482 проследил западный берег Африки между 1° и 13°30 ю. ш., открыв на пути устье р. Конго. В 1484 86 продвинулся вдоль западного берега Африки до 22° ю. ш.,… …   Большая советская энциклопедия

  • Кан Луис —         (Kahn) (р. 1901), американский архитектор. Эстонец по происхождению. В 1915 принял гражданство США. Окончил Пенсильванский университет в Филадельфии (1924). Профессор Йельского (1948 57) и Пенсильванского (с 1957) университетов. Работы… …   Художественная энциклопедия

  • ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — действительная функция заданная в области Dевклидова пространства имеющая в Dнепрерывные частные производные 1 го и 2 го порядков и являющаяся решением Лапласа уравнения где декартовы прямоугольные координаты точки х. Иногда это определение… …   Математическая энциклопедия

  • Гармонический осциллятор — У этого термина существуют и другие значения, см. Осциллятор. Гармонический осциллятор (в классической механике)  система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x… …   Википедия

  • Медицина — I Медицина Медицина система научных знаний и практической деятельности, целями которой являются укрепление и сохранение здоровья, продление жизни людей, предупреждение и лечение болезней человека. Для выполнения этих задач М. изучает строение и… …   Медицинская энциклопедия

  • Сонатная форма — Эта статья  о музыкальной форме. Об остальных значениях слова см. Sonata (значения). Сонатная форма  музыкальная форма, состоящая из трёх основных разделов, где в первом разделе (экспозиции) противопоставляются главная и… …   Википедия

  • Чичерин, Борис Николаевич — известный юрист и философ. Род. в Тамбове в 1828 г.; до 1868 г. был профессором государственного права в московском университете, в 1882 83 гг. московским городским головой; по выходе в отставку живет в своем имении (село Караул, Кирсановского… …   Большая биографическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.