- Полное пространство
-
Полное пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).
В большинстве случаев, рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.
Содержание
Пополнение
Всякое метрическое пространство
можно вложить в полное пространство
таким образом, что метрика
продолжает метрику
, а подпространство
всюду плотно в
. Такое пространство
называется пополнением
и обычно обозначается
.
Построение
Для метрического пространства
, на множестве фундаментальных последовательностей в
можно ввести отношение эквивалентности
Множество классов эквивалентности
с метрикой, определённой
является метрическим пространством. Само пространство
изометрически вкладывается в него следующим образом: точке
соответствует класс постоянной последовательности
. Получившееся пространство
и будет пополнением
.
Свойства
- Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
- Пополнение метрического
пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
- Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
- Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
- Критерий компактности метрического пространства: метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.
- Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.
Примеры
Полные пространства
— пример полного числового метрического пространства, в смысле стандартной метрики, введённой на множестве вещественных (действительных чисел). Критерий полноты метрического пространства в случае
носит особое название .
- Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно.
- Любое банахово пространство, в частности гильбертово пространство, полно по определению.
- В частности, полным является банахово пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой.
Неполные пространства
- Рациональные числа
со стандартным расстоянием
являются неполным метрического пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел
.
- Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел
.
- Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций. Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.
Вариации и обобщения
- Если
имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.
Литература
- Зорич В.А. "Математический анализ", т.2, гл.IX, §5.
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категория:- Метрическая геометрия
Wikimedia Foundation. 2010.