ПОРЯДКОВОЕ ЧИСЛО

, трансфинитное число, ординальное число, ординал, - порядковый тип вполне упорядоченного множества. Понятие П. ч. ввел Г. Кантор (G. Cantor, 1883, см. [2]). Напр., П. ч. множества натуральных чисел, упорядоченного отношением , есть w. П. ч. множества, состоящего из числа 1 и чисел вида , если n=1, 2, . . ., упорядоченного отношением , есть w+1. Говорят, что П. ч. а равно (меньше) П. ч. р, и пишут a=b(a<b), если множество типа а подобно множеству (отрезку) типа b Для произвольных П. ч. a и b выполняется одна и только одна из возможностей a<b, a=b, a>b Множество {b : b<a} всех П. ч., меньших a, вполне упорядочено по типу a отношением . Более того, каждое множество П. ч. вполне упорядочено отношением , т. е. в каждом непустом множестве П. ч. есть наименьшее П. ч. Для каждого множества ZП. ч. существует П. ч., превосходящее каждое П. ч. из Z. Таким образом, не существует множества всех П. ч. Наименьшее среди П. ч., следующих за П. ч. a, наз. последователем a и обозначается a+1. П. ч. a наз. предшественником П. ч. a+1. П. ч. наз. предельным числом, если оно не имеет предшественника. Таким образом, 0 - предельное число. Каждое П. ч. можно представить в виде a=l+n, где l - предельное число, п - натуральное, а сумма понимается как сложение порядковых типов.

Трансфинитной последовательностью типа a, или a-последовательностью, наз. функция j, определенная на Если значениями этой последовательности служат П. ч. и из следует , то эта последовательность наз. возрастающей. Пусть j обозначает l-последовательность, где l, - предельное число. Наименьшее среди П. ч., больших каждого из чисел j(g), где g<l наз. пределом последовательности j(g) для g<l и обозначается . Напр., w . П. ч. l, конфинально предельному числу a, если l, является пределом возрастающей a-последовательности:

П. ч. наз. регулярным, если оно не конфинально никакому меньшему П. ч., и сингулярным в противном случае. П. ч. наз. начальным П. ч., мощности t, если. <оно наименьшее среди П. ч. мощности t (т. е. среди порядковых типов вполне упорядоченных множеств мощности t). Начальное П. ч. мощности т обозначается w(t). Множество всех начальных П. ч. бесконечных мощностей, меньших чем t, вполне упорядочено. Если П. ч. а является его порядковым типом, то полагается . Таким образом, каждое начальное П. ч. снабжается индексом, равным порядковому типу множества всех начальных П. ч., меньших, чем данное. Различным начальным числам соответствуют различные индексы. Каждое П. ч. a является индексом нек-рого начального числа. Каждое предельное П. ч. конфинально начальному числу w_a - наименьшему из П. ч., конфинальных l.

Начальное число w_a наз. слабо недостижимым, если оно регулярно и его индекс a - предельное число. Напр., w=w₀ слабо недостижимо, а w_w сингулярно и потому не будет слабо недостижимо. Если a>0, то w_a слабо недостижимо тогда и только тогда, когда , где с f (a) - наименьшее число x такое, что а конфинально w_x.

Слабо недостижимые П. ч. допускают классификацию, аналогичную классификации недостижимых кардинальных чисел. Сумма и произведение двух П. ч. являются П. ч. Если множество индексов вполне упорядочено, то вполне упорядоченная сумма П. ч. является П. ч. Для П. ч. можно определить возведение в степень по трансфинитной индукции: , где l, - предельное число. Число g^a наз. степенью числа g, g - основанием степени и a - показателем степени. Напр., взяв g=w, a₀=1, получают , Предел этой последовательности является наименьшим критич. числом функции w^x т. е. наименьшим из П. ч., для к-рых w^e = e. Числа е, для к-рых выполняется это равенство, наз. эпсилон-ординалами.

Возведение в степень можно использовать для представления П. ч. в виде, напоминающем представление натуральных чисел в. десятичной системе. Если g>1, , то существуют такое натуральное число пи такие последовательности b₁, b₂, . . ., b _п и h₁, h₂, . . ., h_n, что

(1)

(2)

для i=l, 2, . . ., п. Формула (1) для чисел b_j, и h_j, удовлетворяющих условиям (2), наз. разложением числа a по основанию g. Числа b_j- наз. цифрами, а числа h_j- - показателями степеней этого разложения. Разложение П. ч. по данному основанию единственно.

Разложение П. ч. по основанию w используется для определения натурального сложения и натурального умножения П. ч.

Лит.:[1] Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.- Л., 1948; [2] Кантор Г., в кн.: Новые идеи в математике. Сб. 6, СПБ, 1914, с. 90-184; [3] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Л., 1937; [4] Муратовский К., Мостовский А., Теория множеств, пер. с англ., М., 1970; [5] Siеrрinski W., Cardinal and ordinal numbers, 2 ed., Warez., 1965.

В. А. Ефимов.