Число Маха

У этого термина существуют и другие значения, см. Мах.

Самолёт FA-18 Hornet, движущийся с околозвуковой скоростью. Наблюдается эффект Прандтля — Глоерта

Число́ Ма́ха ($\mathsf{M}$) — в механике сплошных сред — один из критериев подобия в механике жидкости и газа. Представляет собой отношение скорости течения в данной точке газового потока к местной скорости распространения звука в движущейся среде — назван по имени австрийского учёного Эрнста Маха (нем. E. Mach).

Историческая справка

Название число Маха и обозначение М предложил в 1929 г.^[1] Якоб Аккерет^[2] (J.Ackeret). Ранее в литературе встречалось название число Берстоу^[1][3] (Bairstow, обозначение $\mathsf{Ba}$), а в советской послевоенной научной литературе — название число Маевского^[4] (число Маха — Маевского) по имени основателя русской научной школы баллистики, пользовавшегося этой величиной. В некоторых советских учебниках пятидесятых годов обозначение $\mathsf{M}$ употребляется без специального названия^[5], что, по-видимому, связано с критической официальной оценкой философских позиций Э. Маха.

Число Маха в газовой динамике

Число Маха

$\mathsf{M}=\frac{v}{a},$

где $v$ — скорость потока, а $a$ — местная скорость звука,

является мерой влияния сжимаемости среды в потоке данной скорости на его поведение: из уравнения состояния идеального газа следует, что относительное изменение плотности (при постоянной температуре) пропорционально изменению давления:

$\frac{d\rho}{\rho}\sim\frac{dp}{p},$

из закона Бернулли разность давлений в потоке $dp\sim\rho v^2$, то есть относительное изменение плотности:

$\frac{d\rho}{\rho}\sim\frac{dp}{p}\sim\frac{\rho v^2}{p}.$

Поскольку скорость звука $a\sim\sqrt{p/\rho}$, то относительное изменение плотности в газовом потоке пропорционально квадрату числа Маха:

$\frac{d\rho}{\rho}\sim\frac{v^2}{a^2}=\mathsf{M}^2.$

Наряду с числом Маха используются и другие характеристики безразмерной скорости течения газа:

коэффициент скорости

$\lambda=\frac{v}{v_K}=\sqrt{\frac{\gamma+1}{2}}\mathsf{M}\left(1+\frac{\gamma-1}{2}\mathsf{M}^2\right)^{-1/2}$

и безразмерная скорость

$\Lambda=\frac{v}{v_\max}=\sqrt{\frac{\gamma-1}{2}}\mathsf{M}\left(1+\frac{\gamma-1}{2}\mathsf{M}^2\right)^{-1/2},$

где $v_K$ — критическая скорость,

$v_\max$ — максимальная скорость в газе,

$\gamma=\frac{c_p}{c_v}$ — показатель адиабаты газа, равный отношению удельных теплоёмкостей газа при постоянных давлении и объёме соответственно.

Максимально упрощённое объяснение числа Маха

Для понимания числа Маха неспециалистами очень упрощённо можно сказать, что численное выражение числа Маха зависит, прежде всего, от высоты полёта (чем больше высота и, соответственно, разрежение, тем ниже скорость звука и выше число Маха). Число Маха — это истинная скорость в потоке (то есть скорость, с которой воздух обтекает, например, самолёт), делённая на скорость звука в конкретной среде, поэтому зависимость является обратно пропорциональной. При давлении в 1 атм (у земли на уровне моря) скорость, соответствующая 1 Маху, будет равна приблизительно 300 м/с или 1100 км/ч, то есть скорости звука в воздухе. Однако, если, например, приборы самолёта показывают истинную скорость самолёта 1070 км/ч на высоте 11000 м, такой самолёт движется со скоростью более 1 Маха, то есть со сверхзвуковой скоростью.

Такое объяснение не может использоваться для каких бы то ни было математических расчётов скорости или иных математических операций по аэродинамике.

См. также

• Газовая динамика
• Сверхзвуковая скорость
• Мах, Эрнст
• Список параметров атмосферы стандартной

Литература

• Число Маха // Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1988.

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Чёрный Г. Г. Газовая динамика. — М.: Наука, 1988. — С. 53. — 424 с. — ISBN 5–02–013814–2
2. ↑ Карман Т. Аэродинамика. Избранные темы в их историческом развитии / Под ред. А. В. Борисова. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — С. 111. — 208 с. — ISBN 5–93972–094–3
3. ↑ Гудымчук В. Подобие тепловое // Гл. ред. П. Н. Беликов Физический словарь. — М.: ОНТИ НКТП СССР, 1938. — Т. 4. — С. (столбцы) 228–229.
4. ↑ Мхитарян А. М. Аэродинамика. — М., 1970. — С. 25. — 446 с. Переиздание: . — М.: Эколит, 2012. — ISBN 978–5–4365–0050–8
5. ↑ Аржанников Н. С., Мальцев В. Н. Аэродинамика. — М., 1956. — С. 314. — 484 с. Переиздание: . — М.: Эколит, 2011. — ISBN 978–5–4365–0030–0