Ряд Маклорена

Ряд Маклорена

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Содержание

Определение

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд

\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

Связанные определения

  • В случае, если a = 0, этот ряд также называется рядом Макло́рена.

Свойства

  • Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.
  • Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например:
    f(x)=
\left\{
\begin{matrix}
0,&\ \ x=0\\
e^{-1/x^2} &\ \ x\not=0
\end{matrix}
\right.,\ \  a=0.

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

тогда: \exists точка \xi\in (x,a) при x < a или \xi\in (a,x) при x > a:

f(x) = f(a) + \sum_{k=1}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi)


Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1


В форме Коши:

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1

Ослабим предположения:

  • Пусть функция f(x) имеет n − 1 производную в некоторой окрестности точки a
  • И n производную в самой точке a, тогда:
R_{n+1}(x) = o[(x - a)^n ]~ — остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано)

Ряды Маклорена некоторых функций

Экспонента:

\mathrm{e}^{x} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!},\forall x

Натуральный логарифм:

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} =  \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(- 1)^{n+1}x^n}{n}, для всех  \left| x \right| &amp;lt; 1

Биномиальное разложение:

(1+x)^\alpha  = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n, для всех  \left| x \right| &amp;lt; 1\quad и всех комплексных ~\alpha, где

{\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\! = \frac{\alpha!}{n!(n-\alpha)!}\!

В частности:

\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n,  для всех |x|&amp;lt;1\!
\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} x^n, для всех  \left| x \right| &amp;lt; 1
  • Конечный геометрический ряд:
\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n, для всех  x \not = 1,\ m\in\mathbb{N}_0\!

Тригонометрические функции:

\sin x =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1},\forall x
\cos x =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n},\forall x
\operatorname{tg} x =  x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}, для всех  \left| x \right| &amp;lt; \frac{\pi}{2}
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} для всех  \left| x \right| &amp;lt; \frac{\pi}{2}
\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} для всех  \left| x \right| &amp;lt; 1
\operatorname{arctg} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} для всех  \left| x \right| &amp;lt; 1

Гиперболические функции:

\operatorname{sh} \left(x\right) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1},\forall x
\operatorname{ch} \left(x\right) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n},\forall x
\operatorname{th}\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} для всех  
\left|x\right| &amp;lt; \frac{\pi}{2}
\operatorname{areash} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} для всех  \left| x \right| &amp;lt; 1
\operatorname{areath} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1} для всех  \left| x \right| &amp;lt; 1

Литература

  • В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов «Математический анализ» ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов, изд.: Проспект 2004.
  • В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина, Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
  • Д. Т. Письменный «Конспект лекций по высшей математике», изд.: АЙРИС-пресс, 2002.

См. также

Примечания


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Ряд Маклорена" в других словарях:

  • ряд Маклорена — Makloreno eilutė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Maclaurin series vok. Maclaurinsche Reihe, f rus. ряд Маклорена, m pranc. série de Mac Laurin, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Маклорена ряд — Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды… …   Википедия

  • Ряд Тейлора — Ряд Тейлора  разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора  его использовали ещё в XVII веке Грегори, а… …   Википедия

  • Ряд тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды Тейлора… …   Википедия

  • МАКЛОРЕНА РЯД — (по имени К. Маклорена) частный случай Тейлора ряда …   Большой Энциклопедический словарь

  • Ряд (математич.) — Ряд, бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, . (1) Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +... + q… …   Большая советская энциклопедия

  • Маклорена ряд — (по имени К. Маклорена), частный случай Тейлора ряда. * * * МАКЛОРЕНА РЯД МАКЛОРЕНА РЯД (по имени К. Маклорена), частный случай Тейлора ряда (см. ТЕЙЛОРА РЯД) …   Энциклопедический словарь

  • Маклорена ряд —         исторически неправильное название (по имени К. Маклорена) степенного ряда вида:                  ,         где f(0), f’(0), f”(0), ..., f(n)(0),... – значения заданной функции f(x) и её последовательных производных при х = 0. Этот ряд был …   Большая советская энциклопедия

  • МАКЛОРЕНА ФОРМУЛА — частный случай Тейлора формулы. Пусть функция f(x)имеет ппроизводных в точке x=0. Тогда в нек рой окрестности Uэтой точки функцию f(x).можно представить в виде где r п (х) остаточный член n го порядка, представимый в том или ином виде. Термин М.… …   Математическая энциклопедия

  • РЯД — б е с к о н е ч н а я с у м м а, последовательность элементов (наз. ч л е н а м и д а н н о г о р я д а) нек рого линейного топологич. пространства и определенное бесконечное множество их конечных сумм (наз. ч а с т и ч н ы м и с у м м а м и р я… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»