Смешанная частная производная


Смешанная частная производная

Содержание

Определение

Пусть функция z=f(x,\;y), и ее частные производные

\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}

определены в некоторой окрестности точки (x_0,\;y_0). Тогда предел

\lim_{\Delta y \to 0 }{\frac{\displaystyle{\frac{\partial f ( x_0, y_0 + \Delta y)}{\partial x} - \frac{\partial f(x_0,\;y_0)}{\partial x} }}{\Delta y}},

если он существует, называется смешанной (смежной) производной функции f(x,\;y) в точке (x_0,\;y_0) и обозначается \frac{\partial^2 f (x_0,\;y_0)}{\partial x \partial y}.

Аналогично определяется \frac{\partial^2 f (x_0,\;y_0)}{\partial y \partial x} как

\lim_{\Delta x \to 0 }{\frac{\displaystyle{\frac{\partial f ( x_0 + \Delta x,\;y_0)}{\partial y} - \frac{\partial f ( x_0,\;y_0)}{\partial y}}}{\Delta x}},

если он существует.

Смешанные частные производные порядка большего двух определяются индуктивно.

Обозначение

  • \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f''_{xy} = z''_{xy}
  • \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = f''_{yx} = z''_{yx}

Свойства

  • Для непрерывной функции имеет место равенство \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}. При условии их непрерывности в рассматриваемой точке.

Пример Шварца

f(x,\;y)= \begin{cases}\displaystyle{xy \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}},\quad x^2+y^2>0 \\ 0,\quad x=y=0 \end{cases} \Rightarrow \frac{\partial^2 f (0,\;0)}{\partial x \partial y} = -1 \ne 1 = \frac{\partial^2 f (0,\;0)}{\partial y \partial x}

То есть смешанные производные в примере Шварца не равны.

  • Имеет место теорема о равенстве смешанных производных

Теорема Шварца

Пусть выполнены условия:

  1. функции z=f(x,\;y),\;\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y},\;\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} определены в некоторой окрестности точки (x_0,\;y_0).
  2. \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y},\;\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} непрерывны в точке (x_0,\;y_0).

Тогда \frac{\partial^2 f (x_0,\;y_0)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f (x_0,\;y_0)}{\partial y \partial x}, то есть смешанные производные второго порядка равны в каждой точке, где они непрерывны.

Теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных индуктивно распространяется на смешанные частные производные высших порядков, при условии, что они непрерывны.

  • Тем не менее, условие непрерывности смешанных производных отнюдь не является необходимым в теореме Шварца.

Пример

f(x,\;y)= \begin{cases}\displaystyle{\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}},\quad x^2+y^2>0 \\0,\quad x=y=0 \end{cases} \Rightarrow смешанные производные второго порядка равны всюду кроме точки (0,\;0), в которой и нарушается равенство смешанных производных[1].

Примечания

  1. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Глава 5. Функции многих переменных // Курс математического анализа. — 2-е изд. — М.: МФТИ, 1997. — С. 283. — 716 с. — ISBN 5-89155-006-7



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Смешанная частная производная" в других словарях:

  • Частная производная — У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. В математическом анализе, частная производная  одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. В явном виде частная производная функции… …   Википедия

  • СМЕШАННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ — (cross partial derivative) Влияние изменения одного аргумента функции от двух и более переменных на производную данной функции, взятую по другому аргументу. Если y=f(x,z), то ее производная, или первая производная функции у по аргументу х, равна… …   Экономический словарь

  • Равенство смешанных производных — Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое свойство называется равенством смешанных производных Содержание 1 Теорема 1.1 Определение… …   Википедия

  • Неравенство Фридрихса — теорема функционального анализа, доказанная Куртом Фридрихсом (англ.). Оно указывает границу для Lp нормы функции, используя Lp границы на слабые производные этой функции и геометрию области. Неравенство может быть использовано, чтобы… …   Википедия

  • Капитализм — (Capitalism) Капитализм это общественно экономическая формация, основанная на частной собственности, эксплуатации наёмного труда и признающая главенство капитала История капитализма, модели капитализма, основные понятия капитала, становление… …   Энциклопедия инвестора