Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Производная

Пусть функция $g(h)$ определена в окрестности $h=0$ и для любого $\epsilon$ > 0 найдётся такое $\delta$, что

$|g(h)/h^n|<\epsilon$, лишь только $|h|<\delta,$

тогда говорят, что $g(h)$ — бесконечно малое порядка $o(h^n)$.

Пусть $f(x)$ — вещественнозначная функция, заданная на отрезке $(a,b)$. Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале $(a,b)$, если

$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2!}f''(x)h^2+ \dots \frac{1}{n!}f^{(n)}(x)h^n + o(h^n)$

для любого $x\in(a,b)$ и любого $n$. Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке $(a,b)$ функции образуют кольцо гладких функций $C^\infty(a,b)$.

Коэффициенты $f^{(n)}(x)$

$f^{(m)}(x+h)=f^{(m)}(x)+f^{(m+1)}(x)h+ \dots \frac{1}{n!}f^{(m+n)}(x)h^n + o(h^n)$

Эти функции называют производными функции $f(x)$. Первая производная может быть вычислена как предел

$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.

Оператор, сопоставляющий функции $f(x)$ её производную $f'(x)$ обозначают как

$D= \frac{d}{dx}$

При этом для двух гладких функций f и g верно

$D (f+g)= Df + Dg$ и $D(fg)=fDg+ gDf$

Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.

Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке $(a,b)$, является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.

Касательная прямая

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Прямая

$y=f(c)+f'(c)(x-c)$

пересекает кривую

$y=f(x)$

в точке $(c,f(c))$ таким образом, что знак выражения

$f(x)-f(c)-f'(c)(x-c)=\frac{1}{2}f''(c)(x-c)^2+o((x-c)^2)$

при условии $f''(c)\not =0$ всё время остаётся одним и тем же, поэтому кривая

$y=f(x)$

лежит по одну сторону от прямой

$y=f(c)+f'(c)(x-c)$

Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке $x=c$ (по Б. Кавальери). Точку $x=c$, в которой кривая

$y=f(x)$

не лежит по одну сторону от прямой

$y=f(c)+f'(c)(x-c)$

называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.

Точки экстремума

Точка $x=c$ называется точкой локального максимума (минимума), если

$f(c)-f(c+h)>0 \quad (f(c)-f(c+h)<0 )$

для всех достаточно малых по модулю $h$. Из соотношения

$f'(c)h+\frac{1}{2}f''(c)h^2+ o(h^2)<0$

сразу видно, что $f'(c)=0$ — необходимое условие максимума, а $f''(c)<0$ — достаточное условие максимума. Условие $f''(c)=0$ выделяет точки максимума, минимума и перегиба.

Непрерывные функции

Пусть $f$ определена и на концах интервала $[a,b]$; говорят, что она непрерывна на $[a,b]$, если для любого $\epsilon$ найдётся такое $\delta$, что

$|f(x)-f(x+h)|<\epsilon$, лишь только $|h|<\delta,$

и точки $x,\, x+h$ не выходят за границы интервала $[a,b]$. Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывны на интервале $[a,b]$ функции образуют кольцо непрерывных функций $C[a,b]$.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Кольцо непрерывных на $[a,b]$ и гладких на $(a,b)$ функций обладает рядом важных свойств:

• Теорема Ролля: если $f(a)=f(b)=0$, то имеется точка $c\in (a,b)$ максимума или минимума, в которой $f'$ обращается в нуль.
• Теорема Лагранжа: существует такая точка $c\in (a,b)$, что

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$

• Теорема Коши: если $g'\not =0$ на $(a,b)$, то существует такая точка $c\in (a,b)$, что

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$

Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезке $(a',b')\subset (a,b)$ найдутся такие точки $c_n$, что

$f(b')=f(a')+f'(a')(b'-a')+\frac{1}{2!}f''(a')(b'-a')^2+ \dots \frac{1}{n!}f^{(n)}(a')(b'-a')^n + R_n$

где

$R_n=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c_n)(b'-a')^{n+1}$

При помощи этой формулы можно приближённо вычислять значения функции в точке $b'$ по известным значениям функции и её производных в точке $a'$.

Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если $f(b)=g(b)=0$ или $f(b)=g(b)=\infty$, и $g'\not =0$ на $(a,b)$, то

$\lim\limits_{x\rightarrow b-0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow b-0}\frac{f'(x)}{g'(x)},$

причём существование второго предела влечёт существование первого.

См. также

• Исчисление
• Исторический очерк и библиографию см. в статье Математический анализ.

Литература

• Виноградов И.М. (ред.) Математическая энциклопедия. Том 2. М.: Советская энциклопедия, 1977 г.
• Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1981 г.