Таблица производных

Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

В этих формулах f и g — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Производные простых функций

• ${d \over dx} c = 0$

• ${d \over dx} x = 1$

• ${d \over dx} cx = c$

Вывод  

$(cx)'=cx'=c$

• ${d \over dx} x^c = cx^{c-1},$        когда $x^c\,\!$ и $cx^{c-1}\,\!$ определены, $c \ne 0$

Вывод  

$(x+h)^c = x^c+(x^c)'h+o(h)$

$(x+h)^c-x^c=(x^c)'h+o(h)$

$\sum_{k=0}^c {c \choose k } x ^ {c-k} h ^ {k} - x^c =(x^c)'h+o(h)$

$x^c + cx^{c-1}h+\sum_{k=2}^c {c \choose k } x ^ {c-k} h ^ {k} - x^c =(x^c)'h+o(h)$

$cx^{c-1}h+\sum_{k=2}^c {c \choose k } x ^ {c-k} h ^ {k} =(x^c)'h+o(h)$

$cx^{c-1}h+o(h) =(x^c)'h+o(h)$

$\lim_{h\rightarrow 0}(cx^{c-1}+\frac{o(h)}{h}) =\lim_{h\rightarrow 0}((x^c)'+\frac{o(h)}{h})$

$cx^{c-1}=(x^c)'$

• ${d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0$

Вывод  

Так как $|x|=\sqrt{x^2}$, то пусть $g(x)=x^2, \quad h(x)=\sqrt{x}$ и $f(x)=h(g(x))=\sqrt{x^2}=|x|$

Тогда $f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|}$

• ${d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}$

• ${d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}$

• ${d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0$

• ${d \over dx} \sqrt [n] {x} = {d \over dx} x^{1\over n} = {1 \over n} x^{1-n\over n} = \frac {1} {n \cdot \sqrt [n] {x^{n-1}}}$

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

• ${d \over dx} c^x = {c^x \ln c},\qquad c > 0$

Вывод  

${d \over dx} c^x= {d \over dx} e^{x\ln c}= e^{x\ln c}\ln c=c^x \ln c$

• ${d \over dx} e^x = e^x$

• ${d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}$

• ${d \over dx} \ln x = {1 \over x}$
• ${d \over dx} \log_a x = \frac{log_a e} {x}$

Вывод  

$log_a(x+h)=log_a x+(log_a x)'h+o(h)$

$log_a(x+h)-log_a x =(log_a x)'h+o(h)$

$log_a(1+\frac{h}{x})=(log_a x)'h+o(h)$

$log_a e \frac{h}{x}=(log_a x)'h+o(h)$

• $\frac{d}{dx} \log_a f(x) = \frac{d}{dx} \frac {\ln f(x)}{\ln(a)} = \frac{ f'(x) }{ f(x) \ln(a)}.$

Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций

• ${d \over dx} \sin x = \cos x$

Вывод  

$\sin(x+h)= \sin x + (\sin x)'h+o(h)$

$\sin(x+h)-\sin x=(\sin x)'h+o(h)$

$2\sin \frac{h}{2}\cos\frac{2x+h}{2}=(\sin x)'h+o(h)$

$2(\frac{h}{2}+o(h))(\cos x+o( 1)) =(\sin x)'h+o(h)$

$(\cos x)h+o(h) =(\sin x)'h+o(h)$

$\cos x =\sin' x$

• ${d \over dx} \cos x = -\sin x$

• ${d \over dx}\,\operatorname{tg}\,x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = \operatorname{tg}^2 x + 1$

• ${d \over dx}\,\operatorname{ctg}\,x = -\,\operatorname{cosec}^2\,x = { -1 \over \sin^2 x}$

• ${d \over dx} \sec x =\,\operatorname{tg}\,x \sec x$

• ${d \over dx} \,\operatorname{cosec}\,x = -\,\operatorname{ctg}\,x \,\operatorname{cosec}\,x$

• ${d \over dx} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}$

• ${d \over dx} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}$

• ${d \over dx} \,\operatorname{arctg}\,x = { 1 \over 1 + x^2}$

• ${d \over dx} \,\operatorname{arcctg}\,x = {-1 \over 1 + x^2}$

• ${d \over dx} \arcsec x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$

• ${d \over dx} \,\operatorname{arccosec}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$

Производные гиперболических функций

${d \over dx}\,\operatorname{sh}\,x = \,\operatorname{ch}\,x$

${d \over dx}\,\operatorname{ch}\,x = \,\operatorname{sh}\,x$

${d \over dx}\,\operatorname{th}\,x = \,\operatorname{sech}^2\,x$

${d \over dx}\,\operatorname{sech}\,x = - \operatorname{th} x\,\operatorname{sech}\,x$

${d \over dx}\,\operatorname{cth}\,x = -\,\operatorname{csch}^2\,x$

${d \over dx}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{cth}\,x\,\operatorname{csch}\,x$

${d \over dx}\,\operatorname{arsh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}$

${d \over dx}\,\operatorname{arch}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}$

${d \over dx}\,\operatorname{arth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}$, при $|x|<1$

${d \over dx}\,\operatorname{arsech}\,x = { 1 \over x\sqrt{1 - x^2}}$

${d \over dx}\,\operatorname{arcth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}$, при $|x|>1$

${d \over dx}\,\operatorname{arcsch}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}$

Правила дифференцирования общих функций

$\left({cf}\right)' = cf'$

$\left({f + g}\right)' = f' + g'$

$\left({f - g}\right)' = f' - g'$

$\left({fg}\right)' = f'g + fg'$ (частный случай формулы Лейбница)

$\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0$

$(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\qquad f > 0$

$(f (g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x)$ — Правило дифференцирования сложной функции

$f' = (\ln f)'f, \qquad f > 0$

$(f^c)' = c\left(f^{c-1}\right)f'$

См. также

• Таблица первообразных