- Дифференцирование сложной функции
-
Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке
, а функция g имеет производную в точке
, то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке
.
Содержание
Одномерный случай
Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой,
где
и
Пусть также эти функции дифференцируемы:
Тогда их композиция также дифференцируема:
и её производная имеет вид:
Замечание
В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции
где
принимает следующий вид:
Инвариантность формы первого дифференциала
Дифференциал функции
в точке
имеет вид:
где
— дифференциал тождественного отображения
:
Пусть теперь
Тогда
, и согласно цепному правилу:
Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.
Пример
Пусть
Тогда функция
может быть записана в виде композиции
где
Дифференцируя эти функции отдельно:
получаем
Многомерный случай
Пусть даны функции
где
и
Пусть также эти функции дифференцируемы:
и
Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид
В частности, матрица Якоби функции
является произведением матриц Якоби функций
и
Следствия
- Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
Для частных производных сложной функции справедливо
Пример
Пусть дана функция трёх переменных
и требуется найти её частную производную по переменной
. Функция
может быть записана как
где
Тогда частная производная функции
по переменной
будет иметь следующий вид:
Вычисляем производные:
Подставляем найденные производные:
В итоге
См. также
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категории:- Математический анализ
- Правила дифференцирования
Wikimedia Foundation. 2010.