Производная обратной функции

Пусть $~y=f(x)$ - дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале $~(a,b)$. Если в уравнении $~y=f(x)$ y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция $~x=\phi(y)$, где $~f[\phi(y)]\equiv y$ - функция обратная данной.

Теорема (о дифференцировании обратной функции)

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е

$~y'_x=\frac{1}{x'_y}$

Доказательство  

Пусть $~y=f(x)$ - дифференцируемая функция, $y'_x=f'(x) \ne 0$.
Пусть $\Delta y \ne 0$ - приращение независимой переменной y и $\Delta x$ - соответствующее приращение обратной функции $~x=\phi(y)$.
Напишем тождество

$\frac{\Delta x}{\Delta y}=1:\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Переходя в этом равенстве к пределу при $\Delta y \to 0$, которое влечет за собой стремление $~\Delta x$ к нулю ($\Delta x \to 0$), получим:

$\lim_{\Delta y \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}=1:\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \Leftrightarrow x'_y=\frac{1}{y'_x}$, где $x'_y$ - производная обратной функции.

Замечание
Если пользоваться обозначениями Лейбница, то выше доказанная формула примет вид

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$

Примеры

• $y=\arcsin {x} \Rightarrow x=\sin {y}$,

$~y'_x=(\arcsin{x})'=\frac{1}{x'_y}=\frac{1}{(\sin{y})'}=\frac{1}{\cos{y}}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2{y}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2{(\arcsin {x})}}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

• $~y=\ln {x} \Rightarrow x=e^y$,

$~y'_x=(\ln{x})'=\frac{1}{x'_y}=\frac{1}{(e^y)'}=\frac{1}{y' \cdot e^y}=$ ^[1] $=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}$.

См. также

• Производная
• Таблица производных
• Дифференцирование сложной функции
• Дифференцируемая функция
• Основная теорема анализа
• Геометрический смысл производной
• Частная производная

Примечания

1. ↑ считаем здесь y независимой переменной

Литература

• А. В. Кудрявцев, Б. П. Демидович «Краткий курс высшей математики», ISBN 5-02-013927-0