Статистика Ферми

Статистическая физика

$S = k_B \, \ln\Omega$

Термодинамика Молекулярно-кинетическая теория

Статистики Максвелла-Больцмана Бозе-Эйнштейна · Ферми-Дирака Parastatistics · Anyonic statistics Braid statistics Ансамбли Микроканонический · Канонический Большой канонический Изотермо-изобарический Изоэнатльпи-изобарический Открытый Термодинамика Уравнение состояния · Цикл Карно · Закон Дюлонга — Пти Модели Модель Дебая · Эйнштейна · Модель Изинга Потенциалы Внутренняя энергия · Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца потенциал Гиббса · Большой термодинамический потенциал Известные учёные Максвелл · Гиббс · Больцман

См. также: Портал:Физика

У этого термина существуют и другие значения, см. Ферми (значения).

Распределение Ферми — Дирака как функция от $\scriptstyle{\varepsilon/\mu}$, построенная для 4-х различных температур. С ростом температуры ступенька размывается.

Статистика Фе́рми — Дира́ка в статистической физике — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу запрета Паули, то есть, одно и то же квантовое состояние не может занимать более одной частицы); определяет распределение вероятностей нахождения фермионов на энергетических уровнях системы, находящейся в термодинамическом равновесии; предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл; позволяет найти вероятность, с которой фермион занимает данный энергетический уровень.

Работы по статистике Ферми — Дирака были опубликованы в 1926 году, а в 1927 она была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц в состоянии с энергией $\varepsilon_i$ есть

$n_i=\frac{g_i}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)+1},$

где

$n_i$ — среднее число частиц в состоянии $i$,

$\varepsilon_i$ — энергия состояния $i$,

$g_i$ — кратность вырождения состояния $i$ (число состояний с энергией $\varepsilon_i$),

$\mu$ — химический потенциал (который равен энергии Ферми $E_F$ при абсолютном нуле температуры),

$k$ — постоянная Больцмана,

$T$ — абсолютная температура.

В (идеальном) ферми-газе в пределе низких температур $\mu=E_F$. В этом случае (полагая уровни энергии невырожденными $g_i=1$), функция распределения частиц называется функцией Ферми:

$F(E)=\frac{1}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon_i-E_F}{kT}\right)+1}.$

Распределение Ферми — Дирака как функция температуры. Заполнение уровней с энергиями $\scriptstyle{\varepsilon>\mu}$ растёт с увеличением температуры.

Применение

Статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна применяются в том случае, когда необходимо учитывать квантовые эффекты, когда частицы обладают «неразличимостью». Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц $N/V\geqslant n_q$ (где $n_q$ — квантовая концентрация).

Квантовая концентрация — это концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть когда волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры. Статистика Ферми — Дирака (Ф — Д) применяется к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), статистика Бозе — Эйнштейна (Б — Э) применяется к бозонам. Оба этих распределения становятся распределением Максвелла — Больцмана при высоких температурах и низких концентрациях.

Распределением Максвелла — Больцмана часто описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурация частицы $A$ в состоянии 1 и частицы $B$ в состоянии 2 отличается от конфигурации частицы $B$ в состоянии 1 и частицы $A$ в состоянии 2. Когда эта идея была проработана полностью, оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно, как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы. И Ф — Д, и Б — Э приближаются к статистике Максвелла — Больцмана в пределе высоких температур и низких плотностей. Статистика Максвелла — Больцмана хорошо описывает поведение газов. Ф — Д часто используется для описания электронов в твердых телах, на ней, к примеру, базируются основные положения теории полупроводников в частности и электроники в целом.

Вывод распределения

Распределение Ферми — Дирака как функция от $\scriptstyle{\varepsilon}$. Высокоэнергетические состояния имеют меньшую вероятность. Или, низкоэнергетические состояния более вероятны.

Рассмотрим состояние частицы в системе, состоящей из множества частиц. Энергия такой частицы равна $\varepsilon$. Например, если наша система — это некий квантовый газ в «ящике», то подобное состояние может описываться частной волновой функцией. Известно, что для большого канонического ансамбля, функция распределения имеет вид

$Z=\sum_s e^{-(E(s)-\mu N(s))/kT},$

где

$E(s)$ — энергия состояния $s$,

$N(s)$ — число частиц, находящихся в состоянии $s$,

$\mu$ — химический потенциал,

$s$ — это индекс, пробегающий все возможные микросостояния системы.

В данном контексте, система имеет фиксированные состояния. Итак, если какое либо состояние занято $n$ частицами, то энергия системы — $n\cdot\varepsilon$. Если состояние свободно, то энергия имеет значение 0. Будем рассматривать равновесные одночастичные состояния как резервуар. После того, как система и резервуар займут одно и то же физическое пространство, начинает происходить обмен частицами между двумя состояниями (фактически, это явление мы и исследуем). Отсюда становится ясно, почему используется описанная выше функция распределения, которая, через химический потенциал, учитывает поток частиц между системой и резервуаром.

Для фермионов, каждое состояние может быть либо занято одной частицей, либо свободно. Поэтому, наша система имеет два множества: занятых (разумеется, одной частицей) и незанятых состояний, обозначающихся $s_1$ и $s_2$ соответственно. Видно, что $E(s_1)=\varepsilon$, $N(s_1)=1$, и $E(s_2)=0$, $N(s_2)=0$. Поэтому функция распределения принимает вид:

$Z=\sum_{i=1}^2 e^{-(E(s_i)-\mu N(s_i))/kT}=e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1.$

Для большого канонического ансамбля, вероятность того, что система находится в микросостоянии $s_\alpha$ вычисляется по формуле

$P(s_\alpha)=\frac{e^{-(E(s_\alpha)-\mu N(s_\alpha))/kT}}{Z}.$

Наличие состояния, занятого частицей, означает, что система находится в микросостоянии $s_1$, вероятность которого

$\bar{n}=P(s_1)=\frac{e^{-(E(s_1)-\mu N(s_1))/kT}}{Z}=\frac{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}}{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1}=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.$

$\bar{n}$ называется распределением Ферми — Дирака. Для фиксированной температуры $T$, $\bar{n}(\varepsilon)$ есть вероятность того, что состояние с энергией $\varepsilon$ будет занято фермионом. Обратите внимание, что $\bar{n}$ является убывающей функцией от $\varepsilon$. Это соответствует нашим ожиданиям: высокоэнергетические состояния занимаются с меньшей вероятностью.

Обратите внимание, что энергетический уровень $\varepsilon$ имеет вырождение $g_\varepsilon$. Теперь можно произвести простую модификацию:

$\bar{n}=g_\varepsilon\cdot\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.$

Это число — ожидаемое число частиц, в суммарном состоянии с энергией $\varepsilon$.

Для всех температур $T$, $\bar{n}(\mu)=\frac{1}{2}$. Это означает, что состояния с энергией $\mu$ всегда будут иметь одинаковую вероятность быть заполненными или свободными.

В пределе $T\to 0$, $\bar{n}$ становится ступенчатой функцией (см. первый график). Все состояния с энергией меньше химического потенциала $\mu$ будут заняты с вероятностью 1. Состояния с энергией выше химического потенциала $\mu$ будут свободны. Химический потенциал при нулевой температуре — энергия Ферми, обозначается $E_F$, то есть $E_F=\mu(T=0).$

Влияние температуры

Необходимо заметить, что химический потенциал зависит от температуры. Однако для систем, имеющих температуру ниже температуры Ферми $T_F=\frac{E_F}{k_B}$, что часто используется, как аппроксимация, $\mu\approx E_F$. В реальности же:

$\mu=E_F\left[1-\frac{\pi^2}{12}\left(\frac{k_BT}{E_F}\right)^2+\frac{\pi^4}{80}\left(\frac{k_BT}{E_F}\right)^4+\ldots\right].$

Другой вывод

См. также

• Интеграл Ферми-Дирака
• Статистика Бозе — Эйнштейна
• Статистика Максвелла — Больцмана
• Распределение Максвелла
• Закон Видемана — Франца

Ссылки