Открытый статистический ансамбль

Статистическая физика

$S = k_B \, \ln\Omega$

Термодинамика Молекулярно-кинетическая теория

Статистики Максвелла-Больцмана Бозе-Эйнштейна · Ферми-Дирака Parastatistics · Anyonic statistics Braid statistics Ансамбли Микроканонический · Канонический Большой канонический Изотермо-изобарический Изоэнатльпи-изобарический Открытый Термодинамика Уравнение состояния · Цикл Карно · Закон Дюлонга — Пти Модели Модель Дебая · Эйнштейна · Модель Изинга Потенциалы Внутренняя энергия · Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца потенциал Гиббса · Большой термодинамический потенциал Известные учёные Максвелл · Гиббс · Больцман

См. также: Портал:Физика

Открытый статистический ансамбль (ОСА) — отвечает физической системе, которая обменивается энергией с окружающей средой, находясь с ней в тепловом равновесии, обменивается веществом с окружающей средой при заданном химическом потенциале и правильно учитывает поверхностные члены. Выражение для статсуммы этого ансамбля аналогично статсумме большого канонического ансамбля (БКА), с заменой факторов Больцмана в членах ряда на корреляционные функции специального вида. Поверхностные члены, входящие непосредственно в выражения для статистического распределения, позволяют оперировать с поверхностью отталкиваясь от базовых выражений, а не вводить их дополнительно на более поздних стадиях. Коэффициент «поверхностного натяжения», входящий в статсумму, соответствует границе раздела флюида и абсолютно жесткого тела, вследствие строгого соответствия вероятностных и потенциальных ограничений. В отличие от БКА, для ОСА среднее количество частиц в заданном объеме строго совпадает с объемным членом. Также в отличие от БКА, корреляционные функции ОСА строго удовлетворяют требованию трансляционной инвариантности.

Выражение для общего члена распределения имеет вид

$p^v_m = \frac{z^m}{m! \Upsilon_v} \sum_{t=0}^\infty \frac{z^t}{t!} \int \left [ \prod_{i = 1}^m \prod_{j = m+1}^{m+t}\psi^v_i\chi^v_j \right ] {\mathcal B}^{(m,t)}_{1...m+t} d\boldsymbol{r}_1...d\boldsymbol{r}_{m+t},$

где $p^v_m$ — вероятность нахождения в объеме $~v$ $~m$ частиц, $~m \geq 1$, $~z$ — активность, $~\Upsilon_v$ — статсумма ОСА, а интегрирование производится по координатам $~\boldsymbol{r}_{i}$ всех частиц. $~\psi^v_i$ и $~\chi^v_j = 1 - \psi^v_j$ — вырезающие функции, равные единице внутри и вне системы соответственно, а $~{\mathcal B}^{(m,t)}_{1...m+t}$ — факторы частичной локализации, обобщающие факторы Больцмана и факторы Урселла и включающие их в качестве предельных случаев.

Первый член суммы этого выражения соответствует БКА с точностью до нормирующих коэффициентов — статсумм.

Суммируя ряд по $~t$ получим выражение

$p^v_m = \frac{1}{m! \Upsilon_v} \int \left [ \prod_{i = 1}^m \psi^v_i \right ] \varrho^{(m)}_{G,1...m}(\chi^v) d\boldsymbol{r}_1...d\boldsymbol{r}_m,$

где $~\varrho^{(m)}_{G,1...m}$ — корреляционная функция, зависящая от $~z$, $~\chi^v$ и выражающаяся через ряд по $~{\mathcal B}^{(m,t)}_{1...m+t}$. Последнее выражение эквивалентно распределению БКА с заменой

$\varrho^{(m)}_{G,1...m} \approx z^m \exp(-\beta U^{m}_{1...m})$

и соответствующей перенормировкой, где $~U^{m}_{1...m}$ — $~m$-частичный потенциал взаимодействия, $~1/\beta = k_B T$, $~k_B$ — постоянная Больцмана, $~T$ — температура. Это выражение говорит о том, что БКА является низкоплотностным приближением ОСА.

Для статсуммы ОСА имеем выражение

$\Upsilon_v = \exp { \sum_{t=1}^\infty \frac{z^t}{t!} \int \left [1 - \prod_{i = 1}^{t} \chi^v_i \right ] {\mathcal U}^{(t)}_{1...t} d\boldsymbol{r}_1...d\boldsymbol{r}_t },$

в отличие от статсуммы БКА

$\Xi_v = \exp { \sum_{t=1}^\infty \frac{z^t}{t!} \int \left [ \prod_{i = 1}^{t} \psi^v_i \right ] {\mathcal U}^{(t)}_{1...t} d\boldsymbol{r}_1...d\boldsymbol{r}_t },$

где $~{\mathcal U}^{(t)}_{1...t}$ — факторы Урселла. Сворачивая ряды по активности, для $~\Upsilon_v$ получаем альтернативное представление

$~\Upsilon_v = \exp{\beta [ vP(z,T) + a\sigma (z,T) ]},$

где $~P(z,T)$ — давление, $~\sigma (z,T)$ — коэффициент поверхностного натяжения на границе флюида и абсолютно жесткого тела, $~a$ — поверхность, ограничивающая систему.

Следует подчеркнуть, что открытая система ничем не выделена, а поверхностное натяжение обусловлено флуктуационной составляющей статсуммы.

Последнее выражение точно согласуется с вероятностью образования дырки объемом $~v$ во флюиде

$~p^v_0 = \exp-{\beta [ vP(z,T) + a\sigma (z,T) ]},$

определяющейся из термодинамических соображений

$~p^v_0 \propto \exp{( -\beta R_{min})},$

где $~R_{min}$ — минимальная работа образования подобной флуктуации.

Некоторые свойства ОСА

• Скейлинг. Открытый статистический ансамбль, в отличие от большого канонического, удовлетворяет требованию масштабной инвариантности, которое заключается в том, что общий член распределения вложенной подсистемы соответствует такому же для исходной системы.

• Применение к малым системам. ОСА непосредственно применим к системам с размерами вплоть до размера одной молекулы и менее. В этом случае распределение вырождается в распределение Бернулли с $~p=\varrho v$.

• Разделение флуктуаций. При объемах значительно превышающих размер молекулы среднеквадратичное отклонение числа частиц распадается на объемный и поверхностный члены.

Литература

• Zaskulnikov V. M., Open statistical ensemble and surface phenomena: arXiv:0911.3106
• Zaskulnikov V. M., Open statistical ensemble: new properties (scale invariance, application to small systems, meaning of surface particles, etc.): arXiv:1004.0896v1