- Ряд тейлора
-
Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Содержание
Определение
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд
называется рядом Тейлора функции f в точке a.
Связанные определения
- В случае, если a = 0, этот ряд также называется рядом Макло́рена.
Свойства
- Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.
- Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например:
Формула Тейлора
Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
Теорема:
- Пусть функция f(x) имеет n + 1 производную в некоторой окрестности точки a, U(a,ε)
- Пусть
- Пусть p — произвольное положительное число,
тогда: точка при x < a или при x > a:
Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).Различные формы остаточного члена
В форме Лагранжа:
В форме Коши:Ослабим предположения:
- Пусть функция f(x) имеет n − 1 производную в некоторой окрестности точки a
- И n производную в самой точке a, тогда:
- — остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано)
Ряды Маклорена некоторых функций
Натуральный логарифм:
- для всех
для всех и всех комплексных где
В частности:
- для всех
- для всех
- Конечный геометрический ряд:
- для всех
- для всех
- для всех
- для всех
- для всех
- для всех
- для всех
- для всех
Литература
- В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов «Математический анализ» ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов, изд.: Проспект 2004.
- В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина, Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
- Д. Т. Письменный «Конспект лекций по высшей математике», изд.: АЙРИС-пресс, 2002.
См. также
- Ряд Фурье
- Дельсарт, Жан Фридерик
- Визуализация ряда Тейлора на сайте Сообщества свободного математического моделирования
Примечания
Wikimedia Foundation. 2010.