- Бином Ньютона
-
Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид
,
где
— биномиальные коэффициенты,
— неотрицательное целое число.
В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное рациональное число (возможно, отрицательное). В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).
Содержание
Доказательство
Докажем это равенство индукцией по n:
База индукции:
Шаг индукции: Пусть утверждение дляверно:
Тогда надо доказать утверждение для
:
Начнём доказательство:
Извлечём из первой суммы слагаемое при
Извлечём из второй суммы слагаемое при
Теперь сложим преобразованные суммы:
Что и требовалось доказать
Комментарий:
— одно из тождеств биномиальных коэффициентов
Обобщения
Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции
в ряд Тейлора:
где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:
При этом ряд
.
сходится при
.
В частности, при
и
получается тождество
Переходя к пределу при
и используя второй замечательный предел
, выводим тождество
которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.
Мультиномиальная теорема
Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:
где
— мультиномиальные коэффициенты. Сумма берется по всем неотрицательным целым индексам
, сумма которых равна n. При использовании полинома Ньютона, считается, что выражения
, даже в случае
.
Мультиномиальная теорема легко доказывается либо по индукции по m, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.
При
, выражая
через
, получаем бином Ньютона.
Биномиальные многочлены
Семейство многочленов G называется биномиальным, если оно представляется в виде суммы произведений набора множителей g:
где
≠0.
Биномиальные многочлены обладают биномиальным разложением:
Биномиальная группа
Группа из одномерных матриц
с нулевым элементом
заданной на нём операцией
,
где
Единицей группы является
, нулём —
Обратный элемент
где
История
Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век).
Исаак Ньютон около 1676 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.
В художественной литературе
В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.[1]
- В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:
Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность.
Оригинальный текст (англ.)At the age of twenty-one he wrote a treatise upon the binomial theorem, which has had a European vogue. On the strength of it he won the mathematical chair at one of our smaller universities, and had, to all appearances, a most brilliant career before him.
- Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» М. А. Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!». Позже это же выражение упомянуто в фильме «Сталкер» А. А. Тарковского.
- Бином Ньютона упоминается:
- в фильме «Расписание на послезавтра»;
- в повести Льва Толстого «Юность» в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым;
- в романе Е.И.Замятина «Мы».
Примечания
- ↑ В. А. Успенский Предварение для читателей «Нового литературного обозрения» к семиотическим посланиям Андрея Николаевича Колмогорова // Новое литературное обозрение. — 1997. — № 24.
См. также
- Формулы сокращённого умножения многочленов — наиболее частые частные случаи бинома Ньютона
- Биномиальное распределение
Категория:- Алгебра
Wikimedia Foundation. 2010.