- ТЕЙЛОРА РЯД
- ТЕЙЛОРА РЯД
-
- степенной ряд, описывающий поведение данной ф-ции f( х) в окрестности заданной точки. Точнее, если f(x )в точке х0 имеет бесконечное число производных, то её Т. р. имеет вид
Т. р. назван по имени Б. Тейлора (В. Taylor), опубликовавшего ряд (*) в 1715. При х0 =0Т. р. часто называют рядом Маклорена.
Если f( х) имеет в точке х0 производные вплоть до N- го . порядка, то
где oN(x - x0)/|х - x0|N
0 при х
х0. (ф-ла Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
Если f(x )в нек-ром интервале, содержащем точку х0, имеет непрерывные производные до порядка N+1, то для любого х из этого интервала
где для остаточного члена RN(x )существует несколько эквивалентных представлений, каждое из к-рых может быть удобным в той или иной конкретной ситуации. В частности,
- остаточный член в интегральной форме;
- остаточный член в форме Лагранжа;
- остаточный член в форме Коши.
Особенно важную роль Т. р. играет в теории аналитических функций. Эта роль определяется следующим утверждением. Пусть f(z) голоморфна в круге {z:|z - z0|<R}. Тогда в этом круге
причём ряд в правой части этой ф-лы сходится абсолютно и равномерно в любом круге {z| z - z0|<r} для любого r < R. В частности, если f(z) голоморфна во всей комплексной плоскости (целая ф-ция), то её Т. р. сходится к ней абсолютно всюду в этой плоскости, причём сходимость равномерна на любом ограниченном множестве.
Лит. см. при ст. Аналитическая функция. Б. И. Завьялов.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.