Ряд штурма

Ряд штурма

Ряд Штурма (система Штурма) для вещественного многочлена — последовательность многочленов, позволяющая эффективно определять количество корней многочлена на промежутке и приближённо вычислять их с помощью теоремы Штурма. Ряд и теорема названы именем французского математика Жака Штурма.

Содержание

Определение

Рассмотрим многочлен f(x) с вещественными коэффициентами. Конечная упорядоченная последовательность отличных от нуля многочленов с вещественными коэффициентами

f_0(x), f_1(x), ..., f_s(x) \quad

называется рядом Штурма для многочлена f(x), если выполнены следующие условия:

  • f_s(x) \quad не имеет корней;
  • если f_k(c) = 0 \quad и 1\leqslant k\leqslant s - 1, то f_{k-1}(c)f_{k+1}(c) < 0 \quad;
  • если f(c) = 0 \quad, то произведение f_0(c)f_1(c) \quad меняет знак с минуса на плюс, когда x, возрастая, проходит через точку c, т.е. когда существует такое δ > 0, что f_0(x)f_1(x) < 0 \quad для x\in (c-\delta, c) и f_0(x)f_1(x) > 0 \quad для x\in (c, c+\delta).

Иногда ряд Штурма также определяют как построенный определённым образом ряд Штурма.

Связанные определения

  • Значением ряда Штурма в точке c называется количество смен знака в последовательности f0(c),f1(c),...,fs(c) после исключения нулей.

Теорема Штурма

Пусть f(x) — ненулевой многочлен с вещественными коэффициентами, f0(x),f1(x),...,fs(x) — некоторый ряд Штурма для него, [a,b] — промежуток вещественной прямой, причём f(a)f(b)\neq 0. Тогда число корней многочлена f(x) на промежутке [a,b] равно W(a) − W(b), где W(c) — значение ряда Штурма в точке c.

Построение

Ряд Штурма существует для любого ненулевого вещественного многочлена.
Пусть многочлен f(x), отличающийся от константы, не имеет кратных корней. Тогда ряд Штурма для него можно построить, например, следующим образом:

  • f_0(x)=f(x) \quad;
  • f_1(x)=f_0^'(x);
  • Если fk(x) (k > 0) имеет корни, то f_{k+1}(x) = - f_{k-1}(x)\mod f_k(x), где f(x)\mod g(x) — остаток от деления многочлена f(x) на многочлен g(x) в кольце многочленов \R [x], иначе s = k.

Для произвольного многочлена, отличающегося от константы, можно положить

f_0(x) = \frac{f(x)}{(f(x),f^'(x))},

и далее следовать приведенному выше способу. Здесь (f(x),f'(x)) — наибольший общий делитель многочленов f(x) и f'(x). Если многочлен f(x) есть ненулевая константа, то его ряд Штурма состоит из единственного многочлена f0(x) = f(x).

Применение

Ряд Штурма используется для определения количества вещественных корней многочлена на промежутке (см. теорему Штурма). Отсюда вытекает возможность его использования для приближённого вычисления вещественных корней методом двоичного поиска.

Пример

Построим указанным выше способом ряд Штурма для многочлена f(x) = (x − 1)(x − 3) = x2 − 4x + 3

Многочлен fi(x) Знак многочлена в точке
-\infty 0 1 2 3 4 +\infty
f0(x) = x2 − 4x + 3 + \quad + \quad 0 \quad - \quad 0 \quad + \quad + \quad
f1(x) = 2x − 4 - \quad - \quad - \quad 0 \quad + \quad + \quad + \quad
f2(x) = 1 + \quad + \quad + \quad + \quad + \quad + \quad + \quad
Значение ряда в точке 2 \quad 2 \quad 1 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad

Таким образом, по теореме Штурма число корней многочлена f(x) равно:

  • 2 − 0 = 2 на промежутке (-\infty, +\infty)
  • 2 − 0 = 2 на промежутке (0,4)
  • 2 − 1 = 0 на промежутке (0,2)

Литература

  • А. И. Кострикин «Введение в алгебру», ч. 1 «Основы алгебры», изд. 2 исправленное, изд: Москва Физматлит 2004

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Ряд штурма" в других словарях:

  • Ряд Штурма — (система Штурма) для вещественного многочлена  последовательность многочленов, позволяющая эффективно определять количество корней многочлена на промежутке и приближённо вычислять их с помощью теоремы Штурма. Ряд и теорема названы именем… …   Википедия

  • ШТУРМА ТЕОРЕМА — если ряд Штурма для отрезка [ а, b], а<b и w(x) число перемен знака в ряде (*) в точке (значения, равные нулю, не учитываются), то число различных корней функции f(x) на отрезке [ а, b] равно разности w(a) w(b). Рядом Штурма наз.… …   Математическая энциклопедия

  • ШТУРМА -ЛИУВИЛЛЯ ЗАДАЧА — задача, порождённая на конечном или бесконечном интервале ( а, b) изменения переменной c ур нием и нек рыми граничными условиями, где положительны, действительна, а комплексный параметр. Начало глубокому изучению этой задачи положили Ш. Штурм (Ch …   Физическая энциклопедия

  • ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ ОПЕРАТОР — самосопряженный оператор, порожденный дифференциальным выражением и подходящими граничными условиями в гильбертовом пространстве L2( а, b), где ( а, b) конечный или бесконечный интервал, р , р, q непрерывные действительные функции и р(х)>0 при… …   Математическая энциклопедия

  • ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ ЗАДАЧА — задача, порожденная на конечном или бесконечном интервале ( а, b) изменения переменной хуравнением и нек рыми граничными условиями, где р(х) и r(х) положительны, l(х)действительна, а комплексный параметр. Начало глубокому изучению этой задачи… …   Математическая энциклопедия

  • ОРТОГОНАЛЬНЫЙ РЯД — ряд вида где ортонормированная система функций (онс) относительно меры : Начиная с 18 в. при изучении различных вопросов математики, астрономии, механики и физики (движение планет, колебание струн, мембран и др.) в исследованиях Л. Эйлера (L.… …   Математическая энциклопедия

  • Террористический акт в Беслане — Террористический акт в Беслане …   Википедия

  • Ломоносов, Михаил Васильевич — — ученый и писатель, действительный член Российской Академии Наук, профессор химии С. Петербургского университета; родился в дер. Денисовке, Архангельской губ., 8 ноября 1711 г., скончался в С. Петербурге 4 апреля 1765 года. В настоящее… …   Большая биографическая энциклопедия

  • Суворов, Александр Васильевич — (князь Италийский, граф Рымникский) — генералиссимус Российских войск, фельдмаршал австрийской армии, великий маршал войск пьемонтских, граф Священной Римской империи, наследственный принц Сардинского королевского дома, гранд короны и кузен …   Большая биографическая энциклопедия

  • Гражданская война в Ливии — Возможно, эта статья содержит оригинальное исследование. Добавьте ссылки на источники, в противном случае она может быть выставлена на удаление. Дополнительные сведения могут быть на странице обсуждения. (30 июля 2012) …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Ряд штурма» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»