Относительно компактное множество

Относительно компактное множество

Компа́ктное простра́нство — это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

В топологии, компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

Содержание

Связанные определения

  • Подмножество топологического пространства, являющееся в индуцированной топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
  • Множество называется относительно компактным или предкомпактным, если его замыкание компактно.
  • Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
  • Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
  • Ограниченно компактное пространствометрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
  • Термин компакт иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства

Примеры компактных множеств

  • замкнутые и ограниченные множества в \mathbb{R}^n
  • конечные подмножества в пространствах, удовлетворяющих аксиоме отделимости \mathbf{T}_1
  • теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств для некоторых функциональных пространств. Рассмотрим пространство C(X) вещественных функций на метрическом компактном пространстве X с нормой \|f\|=\sup_x |f(x)|. Тогда замыкание множества функций F в C(X) компактно тогда и только тогда, когда F равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
  • пространство Стоуна булевых алгебр
  • компактификация топологического пространства

История

Бикомпактное пространство — термин, введённый П. С. Александровым как усиление введённого М. Фреше понятия компактного пространства: топологическое пространство компактно — в первоначальном смысле слова — если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие. Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что в настоящее время под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно-компактными. Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Относительно компактное множество" в других словарях:

  • Компактное множество — Компактное пространство это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие. В топологии, компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.… …   Википедия

  • КОМПАКТНОЕ МНОЖЕСТВО — подмножество Мтопологич. пространства Xтакое, что каждая бесконечная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к нек рой точке х 0 пространства X. Если то Мназ. компактным в себе множеством. Оно является компактным… …   Математическая энциклопедия

  • Множество второй категории — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия

  • Множество первой категории — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия

  • Компактное пространство — определённый тип топологических пространств, включающий Все пространства с конечным числом точек; Все замкнутые и ограниченные подмножества евклидова пространства. В топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные… …   Википедия

  • УСТРАНИМОЕ МНОЖЕСТВО — Еточек комплексной плоскости для нек poгo класса Коднозначных аналитических функций относительно области такое компактное множество что любая функция f(z) класса Кв продолжается как функция класса K на всю область G. Иначе эту ситуацию описывают… …   Математическая энциклопедия

  • ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНОЕ ТЕЛО — множество К, наделенное алгебраич. структурой тела и локально контактной топологией. При этом требуется, чтобы алгобраич. операции, т. е. сложение, умножение, переход к противоположному и обратному элементам (последний определен только на… …   Математическая энциклопедия

  • Массивное множество — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия

  • Несвязное множество — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия

  • Нигде не плотное множество — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»