- Нормальный делитель
-
В абстрактной алгебре нормальная подгруппа — это особый класс подгрупп, у которых левый и правый смежные классы совпадают. Они особенно важны потому, что позволяют строить факторгруппу по заданной группе.
Содержание
Определения
Подгруппа N группы G называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента n из N и любого g из G, элемент gng − 1 лежит в N:
Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:
- Для любого g из G, .
- Для любого g из G, gNg − 1 = N.
- Множества левых и правых смежных классов N в G совпадают.
- Для любого g из G, gN = Ng.
Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.
Примеры
- {e} и G — всегда нормальные подгруппы G. Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа G называется простой.
- Центр группы — нормальная подгруппа.
- Коммутант группы — нормальная подгруппа.
- Любая характеристическая подгруппа нормальна, так как сопряжение — это всегда автоморфизм.
- Все подгруппы N абелевой группы G нормальны, так как gN = Ng. Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.
- Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.
- В группе кубика Рубика, подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.
Свойства
- Нормальность сохраняется при сюрьективных гомоморфизмах и взятии обратных образов.
- Нормальность сохраняется при построении прямого произведения.
- Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.
- Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если p — наименьший простой делитель порядка G, то любая подгруппа индекса p нормальна.
- Если N — нормальная подгруппа в G, то на множестве левых (правых) смежных классов G / N можно ввести групповую структуру по правилу
- (g1N)(g2N) = (g1g2)N
- Полученное множество называется факторгруппой G по N.
- N нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах G / N.
Исторические факты
Эварист Галуа первым понял важность нормальных подгрупп.
Ссылки
- Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
Wikimedia Foundation. 2010.