Движение (математика)

Изоме́три́я, или движе́ние, или наложе́ние — биекция (преобразование), которая сохраняет расстояние между соответствующими точками, то есть если A' и B' — образы точек A и B, то | A'B' | = | AB | .

Термин «изометрия» более распространён в метрической геометрии, в частности в римановой геометрии. Термин «движение» более распространён в евклидовой геометрии и смежных областях.

В евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве изометрия автоматически сохраняет также углы, то есть сохраняются полностью все скалярные произведения.

В этой статье ниже подразумевается евклидово пространство, а в общем случае метрического пространства (например, для неплоского риманова многообразия) движения могут существовать далеко не всегда.

Виды изометрии

На плоскости

• Осевая симметрия (отражение)
• Параллельный перенос
• Поворот
• Скользящее отражение — композиция переноса на вектор, параллельный прямой, и симметрии относительно этой прямой

В трёхмерном пространстве

• Зеркальная симметрия (отражение) относительно плоскости
• Параллельный перенос
• Поворот
• Скользящая симметрия — композиция переноса на вектор, параллельный плоскости, и симметрии относительно этой плоскости
• Зеркальный поворот — композиция поворота вокруг некоторой прямой и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота
• Винтовое наложение — композиция поворота относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой

В n-мерном пространстве

В n-мерном пространстве движения сводятся ко всем ортогональным преобразованиям, параллельным переносам и композициям того и другого.

В свою очередь ортогональные преобразования могут быть представлены как композиции (собственных) вращений и зеркальных отражений.

Общие свойства изометрии

• Композиция изометрий также является изометрией
• Изометрии относительно взятия композиции образуют группу
• Изометрия - аффинное преобразование
• Изометрия переводит отрезок в отрезок

Движения как композиции симметрий

Композиция двух отражений относительно несовпадающих параллельных осей дает параллельный перенос.

Композиция двух отражений относительно непараллельных осей дает поворот.

Любую изометрию в n-мерном евклидовом пространстве можно представить в виде композиции не более чем n + 1 отражений.

Так, параллельный перенос и поворот — композиции двух отражений, скользящее отражение и зеркальный поворот — трёх, винтовое наложение — четырёх.