РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО ОБОБЩЕННОЕ

- пространство с внутренней метрикой, подчиненное нек-рым ограничениям на кривизну. К ним относятся пространства с "кривизной, ограниченной сверху", и др. (см. [3]). Р. п. о. отличаются от римановых пространств не только большей общностью, но и тем, что они определяются и исследуются, исходя из метрики, без координат. При нек-ром соединении условий на кривизну и поведении кратчайших (т. е. кривых, длины к-рых равны расстояниям между концами) Р. п. о. оказывается римановым, что дает чисто метрич. определение риманова пространства.

Определения Р. п. о. исходят из классич. связи кривизны с избытком геодезического треугольника (избыток= сумма углов минус p). Эти понятия переносятся на пространство с внутренней метрикой такое, что у каждой точки его есть окрестность, любые две точки к-рой соединены кратчайшей. Это условие далее подразумевается без оговорок. Т р е у г о л ь н и к о м Т=АВС наз. тройка кратчайших АВ, ВС, СА - сторон треугольника, соединяющих попарно три различных точки А, В, С - вершины треугольника. Угол определяется между кривыми в любом метрич. пространстве.

Пусть L, M - исходящие из одной точки Окривые в пространстве с метрикой r. Выбираются точки , , строится евклидов треугольник со сторонами х=r( О, X), у=r(O, Y), z=r(X, Y )и углом g( х, у), противолежащим стороне z. Определяется в е р х н и й у г о л между Lи М:

(1)

Верхние углы треугольника - это верхние углы , между его сторонами при вершинах А, В, С, а избыток треугольника

Р. п. о. с ограниченной кривизной определяется условием:

(А)для каждой последовательности треугольников Т _n, стягивающихся к точке,

(2)

где - площадь евклидова треугольника с такими же сторонами, что , то Такое пространство оказывается римановым при двух естественных дополнительных условиях:

(1) л о к а л ь н а я к о м п а к т н о с т ь п р о с тр а н с т в а (в пространстве с внутренней метрикой это уже обеспечивает условие локального существования кратчайших);

(2) л о к а л ь н а я п р о д о л ж а е м о с т ь к р а тч а й ш и х - у каждой точки существует окрестность Uтакая, что любую кратчайшую ХY, где , можно продолжить за ее концы. При всех этих условиях пространство является римановым (см. [4]), причем в окрестности каждой точки можно ввести координаты х ⁱ так, что метрика будет задаваться линейным элементом с коэффициентами , 0<a<1. Тем самым имеется параллельный перенос (с непрерывными ) и почти везде - тензор кривизны.

Кроме того, доказано [7], что координаты х ⁱ можно взять гармоническими, т. е. удовлетворяющими равенствам . Гармонич. системы координат составляют атлас класса С ^3,a при любом a, 0<a<1.

Р. п. о. с ограниченной кривизной при K = K', удовлетворяющее условиям (1) и (2), является римановым пространством постоянной римановой кривизны K(см. [3]).

Всякое риманово пространство с римановой кривизной, заключенной между Kи , является Р. п. о. кривизны и удовлетворяет условиям (1) и (2).

"Пространство с кривизной " определяется левым неравенством (2). т. е. условием:

( А ^- )для любой последовательности треугольников Т _п, стягивающихся в точку,

(3)

Другое равносильное определение и начало исследования Р. п. о. исходят из сравнения произвольного треугольника Т=АВС с треугольником со сторонами той же длины в пространстве постоянной кривизны K. Пусть - углы такого треугольника; относительный верхний избыток треугольника Топределяется как . Условие ( А ^-) в определении пространства с кривизной можно заменить на условие:

(A₁^-). у каждой точки есть окрестность , в к-рой для всякого треугольника Т. Выполняется и более сильное свойство вогнутости метрики. Именно, пусть L, М - кратчайшие, исходящие из одной точки О, и - угол в треугольнике со сторонами х=r(O, X), у=r(O, X), z=r(X, Y),, в пространстве постоянной кривизны K, противолежащий стороне z. В (локально) угол оказывается неубывающей функцией при . Отсюда следуют локальные свойства:

(I) между любыми двумя кратчайшими, исходящими из одной точки, существует угол и даже "угол в сильном смысле" (так что, в частности, если

у=const, то ;

(II) для углов a, b, g треугольника в и соответствующего треугольника

(III) в , если , кратчайшие (тем самым кратчайшая в с данными концами единственна).

Двойственными пространствами с кривизной будут пространства с кривизной , определяемые аналогично через нижние избытки, к-рые вычисляются по нижним углам в сильном смысле. Для кратчайших L, М этот угол есть

Нижний избыток треугольника есть Пространство с кривизной - это такое пространство, в к-ром вместо ( А ^- )выполняется условие:

( А ⁺ )для любой последовательности Т _n треугольников, стягивающихся к точке,

(4)

Неравенство с верхним избытком , противоположное неравенству (3), не дает содержательных результатов, их не дает и неравенство с избытком, вычисляемым просто с нижними углами

Условие ( А ⁺ )можно заменить на условие:

, у каждой точки есть окрестность , в к-рой для всякого треугольника Т. В (локально) угол для двух кратчайших L, M оказывается невозрастающей функцией (выпуклая метрика).

Аналогично пространствам с кривизной для пространств с кривизной выполняются (локальные) свойства, подобные (I) и (II): между кратчайшими существует угол в сильном смысле; для всякого треугольника в . Вместо (III) выполняется условие неналегания кратчайших или, что то же, единственность их продолжения: если АС Й АВ и АС₁ Й АВ в , то либо AC Й AC₁, либо АС₁ Й АС.

Таким образом, пространство с ограниченной кривизной получается соединением условий, определяющих оба класса пространств - с кривизной, ограниченной сверху или снизу (причем в левой части неравенства (3) нет нужды брать ). Условие (А) можно заменить, подобно и , на условие:

(A₁) у каждой точки есть окрестность ', где для всякого треугольника Т. Это оказывается также равносильным следующему:

(А ₂) для всякой четверки точек в ' существует четверка точек с теми же попарными расстояниями в пространстве постоянной кривизны k, где и kзависит, вообще говоря, от выбранной четверки точек в '.

Примером Р. п. о. с кривизной является область риманова пространства, в к-рой римановы кривизны всех двумерных площадок во всех точках ограничены сверху (снизу) числом K(K').

Множество Vвпространстве с внутренней метрикой наз. в ы п у к л ы м, если любые две точки можно соединить кратчайшей X, Y и всякая такая кратчайшая содержится в V.

Установлен [8] следующий результат: если пространство Rс внутренней метрикой получено склеиванием двух пространств R', R" кривизны по выпуклым множествам V' М R" и V" М R", то Rсамо есть пространство кривизны . Условие склеивания заключается в том, что и в R', R" индуцируется метрика пространства R.

Две выходящие из точки Окривые L, М (по определению) имеют в О о д и н а к о в о е н а п р а в л е н и е, если верхний угол между ними равен нулю (если L=M, то говорят, что Lимеет в Оопределенное направление). Направление в точке Оопределяется как класс кривых, имеющих в Оодинаковое направление. Направления в точке Ообразуют метрич. пространство, в к-ром расстояние между направлениями определяется верхним углом между любыми их представителями. Это пространство наз. п р о с т р а нс т в о м н а п р а в л е н и й в точке О.

Доказано [5]: если точка Осодержится в окрестности пространства кривизны , гомеоморфной Е ⁿ, то пространство направлений в точке Оявляется пространством кривизны . Неизвестно (1983), гомеоморфно ли оно (п-1)-мерной сфере.

В двумерном случае теория многообразий ограниченной кривизны (см. Двумерное многообразие ограниченной кривизны )включает в себя как частный случай теорию многообразий с кривизной . Примером двумерного многообразия с кривизной является линейчатая поверхность в , снабженная внутренней метрикой, т. е. поверхность, образованная внутренними частями кратчайших, концы к-рых зачеркивают две спрямляемые кривые L₁ L₂. Если кривая L₂ вырождается в точку О, поверхность наз. к о н у с о м к р а тч а й ш и х, натянутым из точки Она кривую L₁. Если L₁ есть треугольник ОАВ, то такой конус наз. поверхностным треугольником (см. [3]).

Отображение метрич. пространства наз. н е р а с т я г и в а ю щ и м, если , j(Y)) для любых . Отображение замкнутой кривой Г ₁ в М ₁ на замкнутую кривую Г ₂ в М ₂ наз. э к в и л о н г а л ь н ы м, если длины соответствующих при отображении j дуг кривых Г ₁ и Г ₂ совпадают. Пусть V - выпуклая область в пространстве постоянной кривизны Kи L - краевой контур V. Область Vм а ж о р и р у е т замкнутую кривую Г в метрич. пространстве М, если существует нарастающее отображение области Vв М, эквилонгально отображающее Lна Г. Само отображение наз. м а ж о р и р у ющ и м.

Пусть - выпуклое пространство с внутренней метрикой; С - конус кратчайших, натянутый на замкнутую спрямляемую кривую Г в из точки , причем в случае K>0 длина l кривой Г меньше Тогда в пространстве постоянной кривизны Kсуществует выпуклая область V, мажорирующая Г, такая, что j(V)=C для соответствующего мажорирующего отображения j. Это свойство характеризует пространства кривизны . Достаточным является уже существование эквилонгального нерастягивающего отображения контура Lобласти Vна Г.

П о в е р х н о с т ь ю в метрич. пространстве Мназ. непрерывное отображение f круга Вв М. Пусть Р - триангулируемый многоугольник, т. е. комплекс из треугольников Т _i, вписанный в В. Треугольнику T_i с вершинами X, Y, Z сопоставляется евклидов треугольник со сторонами, равными расстоянию между точками f(X), f(Y), f(Z). Пусть S₀(P)обозначает сумму площадей всех треугольников ; тогда п л ощ а д ь S(f) п о в е р х н о с т и f определяется (см. [3]) как нижний предел величин S₀(P)при условии, что вершины комплекса Рнеограниченно сгущаются в В: S(f)=lim S₀(P). Это определение модифицировано так (см. [6]). Вместо точек f(X), f(Y), f(Z). вершинам X, Y, Z треугольника Т _i комплекса Р сопоставляются нек-рые точки Х ^р, Y^p, Z^p в М, причем вершинам комплекса Рсопоставляются одинаковые точки в том и только в том случае, когда образы вершин при отображении f совпадают. За площадь L(f)поверхности f принимается нижний предел сумм площадей евклидовых треугольников со сторонами, равными расстояниям между точками Х ^р, Y^p, Z^p при дополнительном предположении, что по всем вершинам комплекса Рстремится к нулю. Всегда

1) Если последовательность поверхностей f_n в R_R, равномерно сходится к поверхности f, то

(полунепрерывность).

2) Если р - нерастягивающее отображение из в и f - поверхность в , то

(принцип Колмогорова).

3) Площадь S(f) поверхностного треугольника Тв не больше площади соответствующего треугольника и равна ему тогда и только тогда, когда треугольник Тизометричен (локальное свойство).

4) В условиях теоремы о существовании мажорирующего отображения (см. выше) площадь S(G)не больше площади круга в пространстве постоянной кривизны Kс периметром l(изопериметрическое неравенство) (см. [3], [6]).

Решается [6] задача Плато в о существовании поверхности минимальной площади, натянутой на замкнутую кривую Г. Доказано следующее. Пусть - метрически полное пространство кривизны (при K>0 диаметр , Г - замкнутая жорданова кривая в . Тогда существует поверхность f минимальной площади L(f), натянутая на кривую Г. Пусть Г, Г _n, n=1, 2, ... ,- замкнутые жордановы кривые в таком пространстве и а (Г), а (Г _n) - минимальные площади поверхностей, натянутых соответственно на Г и Г _n. Если Г _n равномерно сходятся в нек-рых параметризациях к Г, то

Рассматривались двумерные многообразия с индефинитной метрикой ограниченной кривизны. Не решена (1983) задача бескоординатного определения многомерных пространств с индефинитной метрикой ограниченной кривизны, в частности пространств общей теории относительности.

Лит.:[1] А л е к с а н д р о в А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.-Л., 1948; [2] е г о ж е, "Труды Матем. ин-та АН СССР", 1951, т. 38, с. 5-23; [3] е г о ж е, "Schrift. Inst. Math. Deutsch. Acad. Wiss.", 1957, H. 1, S. 33- 84; [4] Б е р е с т о в с к и й В. Н., "Сиб. матем. ж.", 1975, т. 16, № 4, с. 651-62; [5] Н и к о л а е в И. Г., там же, 1978, т. 19, № 6, с. 1341-48; [6] е г о ж е, там же, 1979, т. 20, № 2,. с. 345-53; [7] Р е ш е т н я к Ю. Г., "Матем. сб.", 1960, т. 52, № 3, с. 789-98; [8] е г о ж е, "Сиб. матем. ж.", 1968, т. 9, № 4, с. 918-27. А. Д. Александров, В. Н. Берестовский.