- РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО ОБОБЩЕННОЕ
- пространство с внутренней метрикой, подчиненное нек-рым ограничениям на кривизну. К ним относятся пространства с "кривизной, ограниченной сверху", и др. (см. [3]). Р. п. о. отличаются от римановых пространств не только большей общностью, но и тем, что они определяются и исследуются, исходя из метрики, без координат. При нек-ром соединении условий на кривизну и поведении кратчайших (т. е. кривых, длины к-рых равны расстояниям между концами) Р. п. о. оказывается римановым, что дает чисто метрич. определение риманова пространства.
Определения Р. п. о. исходят из классич. связи кривизны с избытком геодезического треугольника (избыток= сумма углов минус p). Эти понятия переносятся на пространство с внутренней метрикой такое, что у каждой точки его есть окрестность, любые две точки к-рой соединены кратчайшей. Это условие далее подразумевается без оговорок. Т р е у г о л ь н и к о м Т=АВС наз. тройка кратчайших АВ, ВС, СА - сторон треугольника, соединяющих попарно три различных точки А, В, С - вершины треугольника. Угол определяется между кривыми в любом метрич. пространстве.
Пусть L, M - исходящие из одной точки Окривые в пространстве с метрикой r. Выбираются точки
,
, строится евклидов треугольник со сторонами х=r( О, X), у=r(O, Y), z=r(X, Y )и углом g( х, у), противолежащим стороне z. Определяется в е р х н и й у г о л между Lи М:
(1)
Верхние углы треугольника - это верхние углы
,
между его сторонами при вершинах А, В, С, а избыток треугольника
Р. п. о. с ограниченной кривизной
определяется условием:
(А)для каждой последовательности треугольников Т n, стягивающихся к точке,
(2)
где
- площадь евклидова треугольника с такими же сторонами, что
, то
Такое пространство оказывается римановым при двух естественных дополнительных условиях:
(1) л о к а л ь н а я к о м п а к т н о с т ь п р о с тр а н с т в а (в пространстве с внутренней метрикой это уже обеспечивает условие локального существования кратчайших);
(2) л о к а л ь н а я п р о д о л ж а е м о с т ь к р а тч а й ш и х - у каждой точки существует окрестность Uтакая, что любую кратчайшую ХY, где
, можно продолжить за ее концы. При всех этих условиях пространство является римановым (см. [4]), причем в окрестности каждой точки можно ввести координаты х i так, что метрика будет задаваться линейным элементом
с коэффициентами
, 0<a<1. Тем самым имеется параллельный перенос (с непрерывными
) и почти везде - тензор кривизны.
Кроме того, доказано [7], что координаты х i можно взять гармоническими, т. е. удовлетворяющими равенствам
. Гармонич. системы координат составляют атлас класса С 3,a при любом a, 0<a<1.
Р. п. о. с ограниченной кривизной при K = K', удовлетворяющее условиям (1) и (2), является римановым пространством постоянной римановой кривизны K(см. [3]).
Всякое риманово пространство с римановой кривизной, заключенной между Kи
, является Р. п. о. кривизны
и удовлетворяет условиям (1) и (2).
"Пространство с кривизной
" определяется левым неравенством (2). т. е. условием:
( А - )для любой последовательности треугольников Т п, стягивающихся в точку,
(3)
Другое равносильное определение и начало исследования Р. п. о. исходят из сравнения произвольного треугольника Т=АВС с треугольником
со сторонами той же длины в пространстве постоянной кривизны K. Пусть
- углы такого треугольника; относительный верхний избыток треугольника Топределяется как
. Условие ( А -) в определении пространства с кривизной
можно заменить на условие:
(A1-). у каждой точки есть окрестность
, в к-рой
для всякого треугольника Т. Выполняется и более сильное свойство вогнутости метрики. Именно, пусть L, М - кратчайшие, исходящие из одной точки О, и
- угол в треугольнике
со сторонами х=r(O, X), у=r(O, X), z=r(X, Y),
, в пространстве постоянной кривизны K, противолежащий стороне z. В
(локально) угол
оказывается неубывающей функцией
при
. Отсюда следуют локальные свойства:
(I) между любыми двумя кратчайшими, исходящими из одной точки, существует угол и даже "угол в сильном смысле"
(так что, в частности, если
у=const, то
;
(II) для углов a, b, g треугольника в
и соответствующего треугольника
(III) в
, если
, кратчайшие
(тем самым кратчайшая в
с данными концами единственна).
Двойственными пространствами с кривизной
будут пространства с кривизной
, определяемые аналогично через нижние избытки, к-рые вычисляются по нижним углам в сильном смысле. Для кратчайших L, М этот угол есть
Нижний избыток треугольника есть
Пространство с кривизной
- это такое пространство, в к-ром вместо ( А - )выполняется условие:
( А + )для любой последовательности Т n треугольников, стягивающихся к точке,
(4)
Неравенство с верхним избытком
, противоположное неравенству (3), не дает содержательных результатов, их не дает и неравенство с избытком, вычисляемым просто с нижними углами
Условие ( А + )можно заменить на условие:
, у каждой точки есть окрестность
, в к-рой
для всякого треугольника Т. В
(локально) угол
для двух кратчайших L, M оказывается невозрастающей функцией (выпуклая метрика).
Аналогично пространствам с кривизной
для пространств с кривизной
выполняются (локальные) свойства, подобные (I) и (II): между кратчайшими существует угол в сильном смысле;
для всякого треугольника в
. Вместо (III) выполняется условие неналегания кратчайших или, что то же, единственность их продолжения: если АС Й АВ и АС1 Й АВ в
, то либо AC Й AC1, либо АС1 Й АС.
Таким образом, пространство с ограниченной кривизной получается соединением условий, определяющих оба класса пространств - с кривизной, ограниченной сверху или снизу (причем в левой части неравенства (3) нет нужды брать
). Условие (А) можно заменить, подобно
и
, на условие:
(A1) у каждой точки есть окрестность
', где
для всякого треугольника Т. Это оказывается также равносильным следующему:
(А 2) для всякой четверки точек в
' существует четверка точек с теми же попарными расстояниями в пространстве постоянной кривизны k, где
и kзависит, вообще говоря, от выбранной четверки точек в
'.
Примером Р. п. о. с кривизной
является область риманова пространства, в к-рой римановы кривизны всех двумерных площадок во всех точках ограничены сверху (снизу) числом K(K').
Множество Vвпространстве с внутренней метрикой наз. в ы п у к л ы м, если любые две точки
можно соединить кратчайшей X, Y и всякая такая кратчайшая содержится в V.
Установлен [8] следующий результат: если пространство Rс внутренней метрикой получено склеиванием двух пространств R', R" кривизны
по выпуклым множествам V' М R" и V" М R", то Rсамо есть пространство кривизны
. Условие склеивания заключается в том, что
и в R', R" индуцируется метрика пространства R.
Две выходящие из точки Окривые L, М (по определению) имеют в О о д и н а к о в о е н а п р а в л е н и е, если верхний угол между ними равен нулю (если L=M, то говорят, что Lимеет в Оопределенное направление). Направление в точке Оопределяется как класс кривых, имеющих в Оодинаковое направление. Направления в точке Ообразуют метрич. пространство, в к-ром расстояние между направлениями определяется верхним углом между любыми их представителями. Это пространство наз. п р о с т р а нс т в о м н а п р а в л е н и й в точке О.
Доказано [5]: если точка Осодержится в окрестности пространства кривизны
, гомеоморфной Е n, то пространство направлений в точке Оявляется пространством кривизны
. Неизвестно (1983), гомеоморфно ли оно (п-1)-мерной сфере.
В двумерном случае теория многообразий ограниченной кривизны (см. Двумерное многообразие ограниченной кривизны )включает в себя как частный случай теорию многообразий с кривизной
. Примером двумерного многообразия с кривизной
является линейчатая поверхность в
, снабженная внутренней метрикой, т. е. поверхность, образованная внутренними частями кратчайших, концы к-рых зачеркивают две спрямляемые кривые L1 L2. Если кривая L2 вырождается в точку О, поверхность наз. к о н у с о м к р а тч а й ш и х, натянутым из точки Она кривую L1. Если L1 есть треугольник ОАВ, то такой конус наз. поверхностным треугольником (см. [3]).
Отображение
метрич. пространства наз. н е р а с т я г и в а ю щ и м, если
, j(Y)) для любых
. Отображение
замкнутой кривой Г 1 в М 1 на замкнутую кривую Г 2 в М 2 наз. э к в и л о н г а л ь н ы м, если длины соответствующих при отображении j дуг кривых Г 1 и Г 2 совпадают. Пусть V - выпуклая область в пространстве постоянной кривизны Kи L - краевой контур V. Область Vм а ж о р и р у е т замкнутую кривую Г в метрич. пространстве М, если существует нарастающее отображение области Vв М, эквилонгально отображающее Lна Г. Само отображение наз. м а ж о р и р у ющ и м.
Пусть
- выпуклое пространство с внутренней метрикой; С - конус кратчайших, натянутый на замкнутую спрямляемую кривую Г в
из точки
, причем в случае K>0 длина l кривой Г меньше
Тогда в пространстве постоянной кривизны Kсуществует выпуклая область V, мажорирующая Г, такая, что j(V)=C для соответствующего мажорирующего отображения j. Это свойство характеризует пространства кривизны
. Достаточным является уже существование эквилонгального нерастягивающего отображения контура Lобласти Vна Г.
П о в е р х н о с т ь ю в метрич. пространстве Мназ. непрерывное отображение f круга Вв М. Пусть Р - триангулируемый многоугольник, т. е. комплекс из треугольников Т i, вписанный в В. Треугольнику Ti с вершинами X, Y, Z сопоставляется евклидов треугольник
со сторонами, равными расстоянию между точками f(X), f(Y), f(Z). Пусть S0(P)обозначает сумму площадей
всех треугольников
; тогда п л ощ а д ь S(f) п о в е р х н о с т и f определяется (см. [3]) как нижний предел величин S0(P)при условии, что вершины комплекса Рнеограниченно сгущаются в В: S(f)=lim S0(P). Это определение модифицировано так (см. [6]). Вместо точек f(X), f(Y), f(Z). вершинам X, Y, Z треугольника Т i комплекса Р сопоставляются нек-рые точки Х р, Yp, Zp в М, причем вершинам комплекса Рсопоставляются одинаковые точки в том и только в том случае, когда образы вершин при отображении f совпадают. За площадь L(f)поверхности f принимается нижний предел сумм площадей евклидовых треугольников
со сторонами, равными расстояниям между точками Х р, Yp, Zp при дополнительном предположении, что
по всем вершинам
комплекса Рстремится к нулю. Всегда
1) Если последовательность поверхностей fn в RR, равномерно сходится к поверхности f, то
(полунепрерывность).
2) Если р - нерастягивающее отображение из
в
и f - поверхность в
, то
(принцип Колмогорова).
3) Площадь S(f) поверхностного треугольника Тв
не больше площади соответствующего треугольника
и равна ему тогда и только тогда, когда треугольник Тизометричен
(локальное свойство).
4) В условиях теоремы о существовании мажорирующего отображения (см. выше) площадь S(G)не больше площади круга в пространстве постоянной кривизны Kс периметром l(изопериметрическое неравенство) (см. [3], [6]).
Решается [6] задача Плато в
о существовании поверхности минимальной площади, натянутой на замкнутую кривую Г. Доказано следующее. Пусть
- метрически полное пространство кривизны
(при K>0 диаметр
, Г - замкнутая жорданова кривая в
. Тогда существует поверхность f минимальной площади L(f), натянутая на кривую Г. Пусть Г, Г n, n=1, 2, ... ,- замкнутые жордановы кривые в таком пространстве и а (Г), а (Г n) - минимальные площади поверхностей, натянутых соответственно на Г и Г n. Если Г n равномерно сходятся в нек-рых параметризациях к Г, то
Рассматривались двумерные многообразия с индефинитной метрикой ограниченной кривизны. Не решена (1983) задача бескоординатного определения многомерных пространств с индефинитной метрикой ограниченной кривизны, в частности пространств общей теории относительности.
Лит.:[1] А л е к с а н д р о в А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.-Л., 1948; [2] е г о ж е, "Труды Матем. ин-та АН СССР", 1951, т. 38, с. 5-23; [3] е г о ж е, "Schrift. Inst. Math. Deutsch. Acad. Wiss.", 1957, H. 1, S. 33- 84; [4] Б е р е с т о в с к и й В. Н., "Сиб. матем. ж.", 1975, т. 16, № 4, с. 651-62; [5] Н и к о л а е в И. Г., там же, 1978, т. 19, № 6, с. 1341-48; [6] е г о ж е, там же, 1979, т. 20, № 2,. с. 345-53; [7] Р е ш е т н я к Ю. Г., "Матем. сб.", 1960, т. 52, № 3, с. 789-98; [8] е г о ж е, "Сиб. матем. ж.", 1968, т. 9, № 4, с. 918-27. А. Д. Александров, В. Н. Берестовский.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.