Касательное пространство

Касательное пространство $\scriptstyle T_xM$ и касательный вектор $\scriptstyle v\in T_xM$, вдоль кривой $\scriptstyle \gamma (t)$, проходящей через точку $\scriptstyle x\in M$

Касательное пространство к гладкому многообразию $M$ в точке $x$ — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к $M$ в точке $x$ обычно обозначается $T_xM$ или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто $T_x$.

Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением. Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.

Касательное пространство в точке $p$ к подмногообразию определяется аналогично.

В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно Теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.

Определения

Есть два стандартных определения касательного пространства: через класс эквивалентости гладких кривых и через дифференцирование в точке. Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей. Второе является наиболее простым, хотя уровень абстракции в нём выше. Второе определение также легче применять на практике.

Как класс эквивалентости гладких кривых

Пусть $M$ — гладкое многообразие и $p \in M$. Рассмотрим класс $\Gamma_p$ гладких кривых $\gamma\colon\mathbb I\to M$ таких, что $\gamma(0)=p$. Введём на $\Gamma_p$ отношение эквивалентости: $\gamma\sim\gamma'$ если

$|\gamma(t)-\gamma'(t)|=o(t)$

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей $p$.

Элементы касательного пространства $T_p$ определяются как $\sim$-классы эквивалентности $\Gamma_p$; то есть

$T_p=\Gamma_p/\sim$.

В карте такой, что $p$ соответствует началу коодинат, кривые из $\Gamma_p$ можно складывать и умножать на число следующим образом

$(\gamma+\gamma')(t)=\gamma(t)+\gamma'(t)$

$(k\cdot\gamma)(t)=\gamma(k\cdot t)$

При этом результат остаётся в $\Gamma_p$.

Эти операции продожаются до классов эквивалентности $T_p=\Gamma_p/\sim$. Более того, индуцированные на $T_p$ операции уже не зависят от выбора карты. Так на $T_p$ определяется структура векторного пространства.

Через дифференцирование в точке

Пусть $M$ — $C^\infty$-гладкое многообразие. Тогда касательным к многообразию $M$ в точке $p \in M$ называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов $X$, сопоставляющих каждой гладкой функции $f:M\to \R$ число $Xf$ и обладающих следующими свойствами:

• аддитивность: $X(f+h)=Xf+Xh,$
• правило Лейбница: $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot(Xh).$

На множестве всех дифференцирований в точке $p$ возникает естественная структура линейного пространства:

• $(X+Y)f=Xf+Yf;$

  $(k\cdot X)f=k\cdot(Xf).$

Замечания

• В случае $C^k$-гладких многообразий, в определении через дифференцирование следует добавить ещё одно свойство

  $Xf=0$ если $f(q)=o(|p-q|)$

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей $p$.

• В противном случае это определение даст бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. Это пространство иногда называется алгебраическим касательным пространством. См. ниже.

• Пусть $\gamma\in\Gamma_p$. Тогда правило Лейбница и свойство адитивности для оператора выполняются для $Xf=(f\circ \gamma)'(0)$. Это позволяет иденцифицировать касательные пространства получаемые в первом и вторым определении.

Свойства

• Касательное пространство $n$-мерного гладкого многообразия является $n$-мерным векторным пространством
• Для выбранной локальной карты $x_1,\dots, x_n$, операторы $X_i$ дифференцирования по $x_i$:

  $X_if=\frac {\partial f}{\partial x_i}(p)$

представляют собой базис $T_p$, называемый голономным базисом.

Связанные определения

• Контактным элементом к многообразию в некоторой точке называется любая гиперплоскость касательного пространства в этой точке.

Вариации и обобщения

Алгебраическое касательное пространство

Алгебраическое касательное пространство возникает, когда мы в определении касательного вектора отказываемся от дополнительного требования, озвученного в замечании выше (что, впрочем, имеет значение только для $C^k$-дифференцируемых многообразий, $k < \infty$). Оно обобщается на любое локально окольцованное пространство.

Пусть $M$ — $C^k$-дифференцируемое многообразие, $C^k(M)$ — кольцо дифференцируемых функций из $M$ в $\mathbb{R}$. Рассмотрим кольцо $C^k_x$ ростков функций в точке $x \in M$ и каноническую проекцию $[-]_x: C^k(M) \to C^k_x$. Обозначим через $\mathfrak{m}_x$ ядро гомоморфизма колец $[f]_x \mapsto f(x)$. Введем на $C^k_x$ структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма $i: \mathbb{R} \to C^k_x$, $i(a) = [\mathrm{const}_a]_x$ и будем далее отождествлять $\mathbb{R}$ и $i(\mathbb{R})$. Имеет место равенство $C^k_x = \mathbb{R} \oplus \mathfrak{m}_k$.^[1] Обозначим через $C^k_{x,0}$ подалгебру $C^k_x$, состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке $x$ в каждой карте; обозначим $C^k_{x,d} = \mathbb{R} \oplus \mathfrak{m}_x^2$. Заметим, что $C^k_{x,d} \subset C^k_{x,0}$.

Рассмотрим два векторных пространства:

• $T_x M := (C^k_x / C^k_{x,0})^*$ — это пространство имеет размерность $\operatorname{dim}M$ и совпадает с определенным ранее касательным пространством к $M$ в точке $x$,
• $(C^k_x / C^k_{x,d})^* \cong (\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)^*$ — это пространство изоморфно пространству дифференцирований $C^k_x = \mathbb{R} \oplus \mathfrak{m}_x$ со значениями в $\mathbb{R} \subset C^k_x$, его называют алгебраическим касательным пространством^[2] $M$ в точке $x$.

Если $k < \infty$, то $\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2$ имеет размерность континуум, а $(\mathfrak{m}_x / \mathfrak{m}_x^2)^*$ содержит $T_x M$ как нетривиальное подпространство; в случае $k = \infty$ или $k = \omega$ эти пространства совпадают (и $C^k_{x,0} = C^k_{x,d}$).^[3] В обоих случаях $T_x M$ можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований $C^k_x$ со значениями в $\mathbb{R}$, для вектора $X \in T_x M$ формула $X(f) = X([f]_x)$ задает инъективный гомоморфизм $T_x M$ в пространство дифференцирований $C^k(M)$ со значениями в $\mathbb{R}$ (структура вещественной алгебры на $C^k(M)$ задается аналогично $C^k_x$). При этом в случае $k = \infty$ получается в точности определение, данное выше.

См. также

• Касательный вектор
• Кокасательное пространство
• Касательное расслоение

Примечания

1. ↑ Ж.-П. Серр, Алгебры Ли и Группы Ли, М.: Мир, 1969.
2. ↑ Laird E. Taylor, The Tangent Space to a $C^k$ Manifold, Bulletin of AMS, vol. 79, no. 4, July 1973.
3. ↑ JE Marsden, T Ratiu, R Abraham, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Addison-Wesley Pub. Co., 1983.