РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО ОДНОРОДНОЕ

РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО ОДНОРОДНОЕ

- риманово пространство ( М,g) вместе с транзитивной эффективной группой Gего движений. Пусть K - стационарная подгруппа фиксированной точки Тогда многообразие Мотождествляется с факторпространством G/K с помощью биекции , а риманова метрика g рассматривается как G-инвариантная метрика на G/K. Обычно предполагается дополнительно, что группа G замкнута в полной группе движений. В этом случае стационарная подгруппа Kкомпактна .

Пусть K - компактная подгруппа группы Ли G, не содержащая нормальных делителей группы G. Тогда однородное пространство М=G/K допускает инвариантную риманову метрику g, к-рая определяется следующим образом. Пусть - редуктивная структура в M, т. е. разложение алгебры Ли группы Ли Gв прямую сумму алгебры Ли группы Kи подпространства , инвариантного относительно присоединенного представления Ad Kгруппы Kв пространстве . Пространство естественным образом отождествляется с касательным пространством точки o= еK, а представление изотропии группы Kв Т 0 М - с представлением . Любая G-инвариантная риманова метрика g на M получается из нек-рого Ad K- инвариантного скалярного произведения g0 в разнесением с помощью преобразований из G:


Существование такого скалярного произведения следует из компактности группы изотропии

Любое Р. п. о., локально изометричное односвязному Р. п. о. М, получается из Мфакторизацией по произвольной дискретной группе изометрий Клиффорда - Вольфа (т. е. движений многообразия М, перемещающих все точки на одинаковые расстояния [2]).

Наиболее изученными классами Р. п. о. являются римановы симметрич. пространства, однородные кэлеровы пространства и однородные кватернионные пространства, изотропно неприводимые Р. п. о. (классифицированы в [9], [10]), нормальные Р. п. о., в к-рых скалярное произведение g0 в продолжается до невырожденной симметрической Ad G-инвариантной билинейной формы на , естественно редуктивные Р. п. о., характеризуемые тем, что в них любая геодезическая является траекторией однопараметрич. группы движений.

Изучена структура Р. п. о. с различными условиями на тензор кривизны. Напр., известна классификация Р. п. о. положительной секционной кривизны [5]. Описана структура просто транзитивных групп движений Р. п. о. неположительной кривизны [8], неотрицательной кривизны и неотрицательной кривизны Риччи [4]. Р. п. о. с разрешимой группой движений Gвсегда имеет неположительную скалярную кривизну sk, и случай sk=0 возможен только для локально евклидова пространства. Любая инвариантная риманова метрика на односвязном Р. п. о. G/Kимеет неположительную скалярную кривизну тогда и только тогда, когда Kесть максимальная компактная подгруппа группы G(см. [4]).

Р. п. о. ( М,g) наз. э й н ш т е й н о в ы м, если его тензор Риччи r пропорционален метрике: r=l,g, l=const. Проблема описания эйнштейновых Р. п. о. не решена (1983). Известен ряд частных результатов. Пусть ( М=С/K,g) - эйнштейново Р. п. о. со скалярной кривизной sk. 1) Если sk>0, то многообразие Мкомпактно. Описаны все такие пространства: а) если ( М,g) - кватернионное пространство, б) если Мдиффеоморфно симметрич. пространству ранга один, в) для нек-рого класса естественно редуктивных Р. п. о. (см. [7]) и для изотропно неприводимых Р. п. о. (см. [10]). 2) Если sk-0, то Месть локально евклидово пространство. 3) Если sk<0 и группа Gунимодулярна (т. е. определитель операторов ее присоединенного представления равен 1), то группа G полупроста.

Лит.:[1] К о б а я с и Ш., Н о м и д з у К., Основы дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 2, М., 1981; [2] В о л ь ф Дж., Пространства постоянной кривизны, пер. с англ., М., 1982; [3] X е л г а с о н С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [4] В e.r а r d В е g e r у L., "Ann. sci Еc. norm, sup.", 1978, t. 11, № 4, p. 543-76; [5] е г ож е,"J. Math, pures et appl.", 1976, t. 55, p. 47-67; [6] J e n s e n G. R., "J. Dif. Geom.", 1973, v. 8, p. 599-614; [7] D' A t r i J. E., Z i 11 e г W., "Mem. Amer. Math. Soc.", 1979, v. 18, p. 1-72; [8] A z e n c o t t R., W i l s o n E. N., там же, 1976, v. 8, p. 1 - 102; [9] М а н т у р о в О. В.. "Тр. сем. по вект. и тенз. анализу", 1966, т. 13, 68-145; [10] W о 1 f J., "Acta math.", 1968, v. 120, p. 59-148. Д. В. Алексеевский.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО ОДНОРОДНОЕ" в других словарях:

  • ОДНОРОДНОЕ ПРОСТРАНСТВО — множество вместе с заданным на нем транзитивным действием нек рой группы. Точнее, Месть однородное пространство группы G, если задано отображение множества в Мтакое, что: 1) 2) 3)для любых существует такой что Элементы множества Мназ. точками О.… …   Математическая энциклопедия

  • РЕДУКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО — такое однородное пространство G/Hсвязной группы Ли G, что в алгебре Ли группы G существует (H) инвариантное подпространство, дополнительное к подалгебре , являющейся алгеброй Ли группы H. Выполнение любого из следующих условий достаточно для того …   Математическая энциклопедия

  • СИММЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — общее название нескольких видов пространств, встречающихся в дифференциальной геометрии. 1) Многообразие с аффинной связностью наз. аффинным локально симметрическим пространством, если тождественно равны нулю тензор кручения и ковариантная… …   Математическая энциклопедия

  • РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. n мерное связное дифференцируемое многообразие М п, на к ром задано дифференцируемое поле ковариантного, симметрического и положительно определенного тензора gранга 2 …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ — раздел дифференциальной геометрии, изучающий различные инфинитезималъные структуры на многообразии и их связи со структурой многообразия и его топологией. К середине 19 в. в результате возникновения неевклидовой геометрии Лобачевского,… …   Математическая энциклопедия

  • РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия риманова пространства. Осн …   Физическая энциклопедия

  • СФЕРА — множество Sn точек хевклидова пространства En+1, находящихся от нек рой точки х 0 (центр С.) на постоянном расстоянии R (радиус С.), т. е. С. S0 пара точек, С. S1 это окружность, С. Sn при n>2 иногда наз. гиперсферой. Объем С. Sn (длина при п=1,… …   Математическая энциклопедия

  • ПЛАТО МНОГОМЕРНАЯ ЗАДАЧА — термин, обозначающий серию задач, связанных с изучением экстремалей и глобальных минимумов функционала k мерного объема , определенного на k мерных обобщенных поверхностях, вложенных в n мерное риманово пространство М п и удовлетворяющих тем или… …   Математическая энциклопедия

  • КЛЕЙНА - ГОРДОНА УРАВНЕНИЕ — релятивистски инвариантное квантовое уравнение, описывающее бесспиновые скалярные или псевдоскалярные частицы, напр, p , К мезоны. Уравнение установлено О. Клейном [1] и несколько позднее В. А. Фоком как волновое уравнение при условии цикличности …   Математическая энциклопедия

  • ИНДЕКСА ФОРМУЛЫ — соотношения между аналитич. и топологич. инвариантами операторов нек рого класса. Именно, И. ф. устанавливают связь между аналитич. индексом линейного оператора (L0, L1 топологич. векторные пространства), определяемым формулой и измеряющим таким… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»