МНОГООБРАЗИЕ


МНОГООБРАЗИЕ
МНОГООБРАЗИЕ

- множество, точки к-рого задаются набором чисел (координат), причём при переходе от точки к точке координаты меняются непрерывно. Локально, т. е. в нек-рой окрестности каждой точки, M. устроено так же, как евклидово пространство3032-18.jpg. (элементы к-рого представляют собой наборы n вещественных чисел 3032-19.jpgM. являются конфигурац. и фазовые пространства динамических систем. Напр., положение твёрдого тела, закреплённого в одной точке, задаётся углами Эйлера 3032-20.jpg так что его конфигурац. пространство является 3-мерным M. [оно совпадает с группой 3-мерных вращений SO(3)]. M. являются также непрерывные группы и однородные пространства (см. Группа). Понятие M. возникло в результате обобщения понятия поверхности; применяется в разл. областях теоретич. физики (аналитич. механика, теория тяготения, квантовая теория поля, теория калибровочных полей и др.). Часто в физике используют M. с дополнительными математическими структурами, например M. со связностью.

Наличие координат позволяет распространить на произвольное дифференцируемое M. мн. методы матем. анализа, развитые первоначально для 3-мерного евклидова пространства 3032-21.jpg (см. Векторный анализ), а затем перенесённые в n-мерное евклидово пространство 3032-22.jpg Гл. трудностью является то, что в M., как правило, нет выделенной системы координат (подобной декартовой системе координат в 3032-23.jpg. Поэтому приходится рассматривать все возможные системы координат и строить теорию так, чтобы можно было переходить от одной системы координат к другой. Напр., в теории тяготения, где предполагается, что пространство-время является римановым M. (см. Риманово пространство), требование, чтобы ур-ния не зависели от выбора системы координат, является одним из важных принципов (принцип общей ковариантности).

В дифференц. геометрии (т. н. матем. анализ на M.) всё большее распространение получают бескоординатные методы, в к-рых координаты явно не фигурируют (по крайней мере при нек-рых общих доказательствах и рассуждениях). Это удобно и важно с точки зрения физ. приложений, т. к. позволяет отвлечься от несуществ, деталей (связанных с выбором конкретной системы координат) и сделать явным инвариантный характер используемых матем. объектов (отсутствие зависимости от системы координат). В 3-мерном анализе аналогом такого подхода является использование вектора a вместо его компонент ai, i = 1, 2, 3 (к-рые меняются при изменении системы отсчёта). Разумеется, в бескоординатном подходе неявно всегда присутствуют координаты, т. к. они необходимы для определения всех осн. понятий.

В физ. приложениях M. часто возникают как подмножества в евклидовом пространстве, заданные с помощью ур-ний. Напр., двумерная сфера S2 определяется как поверхность в 3032-24.jpg выражаемая ур-нием 3032-25.jpg ; n-мерная сфера Sn определяется как множество точек в 3032-26.jpgвыделяемых ур-нием 3032-27.jpg 1 (здесь х i- декартовы координаты в 3032-28.jpg; независимые ур-ния 3032-29.jpg k=1, ..., n, выделяют в 3032-30.jpgM. размерности n- т. Системы координат. Каждая система координат на многообразии M определяется в нек-рой области 3032-31.jpg и сопоставляет каждой точке этой области, 3032-32.jpg набор вещественных чисел 3032-33.jpg (координат этой точки). При этом область U (координатная окрестность) взаимно однозначно отображается на некоторую область евклидова пространства 3032-34.jpg Именно возможность такого отображения позволяет перенести в M. аналитич. методы, развитые первоначально на 3032-35.jpgНапр., на сфере S 2 пара чисел { х, у}может служить координатами точек верх, полусферы (z > 0) или ниж. полусферы (z< 0). Однако её нельзя рассматривать как систему координат на всей сфере, т. к. иначе двум разным точкам сопоставлялся бы один и тот же набор координат. Сферич. координаты 3032-36.jpg определяют ф-лами 3032-37.jpg

3032-38.jpg

на всей сфере S2, за исключением её полюсов (точек 3032-39.jpg Числа 3032-40.jpg 3032-41.jpg (получающиеся при т. н. стереографич. проекции сферы S2 на плоскость) могут служить координатами на всей сфере, за исключением её северного полюса (точки х = у = 0, z =1).

Двумерная сфера 3032-42.jpg- пример M., на к-ром не только не существует выделенной системы координат, но к-рое вообще нельзя покрыть единой системой координат. Причина в том, что сфера радикально отличается от плоскости 3032-43.jpgсвоими топологич. свойствами, т. е. не может быть непрерывным образом деформирована в плоскость (см. Топология). Чтобы иметь координаты в окрестности каждой точки сферы, необходимо рассмотреть более одной системы координат. В общем случае в M. вводят целое семейство систем координат так, чтобы области их определения (координатные окрестности) в совокупности покрывали всё M. Каждую систему координат из этого семейства наз. картой, а всё семейство - атласом. Для согласования карт друг с другом используют ф-ции перехода между ними. Если области определения 3032-44.jpgдвух карт имеют общие точки, то каждой такой точке 3032-45.jpg сопоставляют два разл. набора координат 3032-46.jpg и 3032-47.jpg. Тем самым определяются ф-ции перехода 3032-48.jpg, к-рые должны быть непрерывными.

То же самое делают для каждой пары карт из атласа. M. наз. дифференцируемым (класса 3032-49.jpg, если все возникающие при этом ф-ции перехода бесконечно дифференцируемы. Иногда требуют лишь дифференцируемости до порядка p(M. класса 3032-50.jpg.

Напр., стандартная структура M. на сфере S2 (согласованная со структурой объемлющего евклидова пространства 3032-51.jpgзадаётся атласом из 3 карт: сферич. координатами 3032-52.jpg вне полюсов, координатами 3032-53.jpg в верх, полусфере и координатами 3032-54.jpg в ниж. полусфере. При этом сфера оказывается (бесконечно) дифференцируемым M. Структуру M. на S 2 можно определить эквивалентным атласом из 2 карт: 3032-55.jpg в верх, полусфере и стереографич. координаты 3032-56.jpg на всей сфере, за исключением северного полюса. Эквивалентность 2 атласов означает, что ф-ции перехода между любыми 2 картами обоих атласов дифференцируемы.

Дифференцируемые отображения. Наличие координат позволяет определить понятие дифференцируемой ф-ции на M., опираясь на известное понятие дифференцируемой ф-ции числовых переменных. Если ф-ция 3032-57.jpg задана в каждой точке 3032-58.jpg то в координатной окрестности 3032-59.jpgеё можно записать как ф-цио координат точки 3032-60.jpgЕсли использование каждой карты, входящей в атлас, приводит при этом к дифференцируемой ф-ции числовых переменных, то исходная ф-ция на M. наз. дифференцируемой.

В приложениях часто рассматривают не только числовые ф-ции на M., но и отображения одного M. на другое,3032-61.jpg При этом многообразия M

и N могут иметь любые размерности. Напр., параметризованную кривую на M. можно считать отображением 3032-62.jpg вещественной прямой 3032-63.jpg (область изменения параметра) в данное M. Др. примером могут служить взаимно однозначные отображения M. на себя,3032-64.jpgк-рые обычно наз. прообразованиями M. Важную роль в физике играют преобразования симметрии.

Выбирая в многообразиях M и N системы координат 3032-65.jpg , можно по отображению а:

3032-66.jpg построить набор ф-ций числовых переменных:

3032-67.jpg3032-68.jpgЕсли при любом выборе карт в M и JV эти ф-ции оказываются дифференцируемыми, то отображение a наз. дифференцируемы м. Дифференцируемое отображение наз. диффеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное к нему также дифференцируемо. Важную роль играют диффеоморфизмы M. на себя, называемые также дифференцируемыми преобразованиями. В физ. приложениях возникают группы диффеоморфизмов (преобразований), сохраняющих ту или иную дополнит, матем. структуру на M.

Напр., преобразования, сохраняющие метрику риманова пространства, образуют группу его изометрий, или движений. В частности, преобразования, сохраняющие метрику n -мерного евклидова пространства, наз. ортогональными и образуют группу О(п). Дифференцируемое преобразование симплектического многообразия, сохраняющее симплектическую структуру, наз. симп-лектич. диффеоморфизмом. Если симплектич. структуру интерпретировать как гамильтонову структуру на фазовом пространство, то симплектич. диффеоморфизм наз. каноническим преобразованием (см. Гамильтонов формализм).

Дифференцируемое преобразование 3032-69.jpg порождает некоторое преобразование 3032-70.jpg пространства всех дифференцируемых ф-ций на M. Ф-ции 3032-71.jpgсопоставляется при этом новая ф-ция 3032-72.jpg, значения к-рой находят по ф-ле 3032-73.jpg В дальнейшем под отображениями всегда будут иметься в виду дифференцируемые отображения.

Векторные поля. Важную роль в матем. анализе играет операция дифференцирования. В евклидовом пространстве из-за существования выделенных декартовых координат достаточно удобным является дифференцирование по координатам. В произвольном M., где все координаты равноправны, вводят понятие инвариантного (не зависящего от выбора координат) дифференцирования. В результате возникают понятия ка-сат. вектора и векторного поля, а также дифференцирования вдоль касат. вектора и вдоль векторного поля.

Если имеется 2-мерная поверхность в 3-мерном евклидовом пространство, то в каждой точке можно провести к этой поверхности касат. вектор, а все векторы, касающиеся поверхности в данной точке, образуют касат. плоскость. В теории M. понятие касат. вектора и касат. пространства необходимо определить внутр. образом, но обращаясь к вложению M. в евклидово пространство. Для этого вектор, касающийся M. в нек-рой точке, интерпретируют как задающий нек-рое направление в этой точке и скорость движения по этому направлению. Направление и скорость движения вдоль него можно охарактеризовать при помощи параметризов. кривой, целиком лежащей в M. и проходящей через данную точку. Это и служит основой для определения касат. вектора в произвольном M.

Пусть на многообразии M задана гладкая кривая 3032-74.jpg проходящая через точку 3032-75.jpg,т. е. удовлетворяющая условию 3032-76.jpg Вводя в окрестности точки c систему координат, получим описание кривой при помощи числовых ф-ций 3032-77.jpg Такая кривая определяет в точке x касательный вектор X, а числа 3032-78.jpgявляются компонентами этого вектора по отношению к данной системе координат. Разумеется, другая кривая, 3032-79.jpg, проходящая через точку c и касающаяся первой кривой в этой точке (т. е. такая, что 3032-80.jpg определяет тот же самый касат. вектор. Поэтому вектор X соответствует целому пучку касающихся друг друга кривых. Все касат. векторы в данной точке 3032-81.jpg образуют векторное пространство размерности га, называемое касательным пространство м и обозначаемое Tx. Касат. вектор является геом. объектом, т. е. он не зависит от системы координат; его компоненты при переходе от одной координатной системы к другой преобразуются по закону

3032-82.jpg

Объединение всех касат. пространств к M. образует новое M., наз. касат. расслоением над первонач. M. Касат. вектор 3032-83.jpgпозволяет сопоставить каждой (дифференцируемой) ф-ции f на M число 3032-84.jpg3032-85.jpg называемое производной ф-ции вдоль данного вектора. Через компоненты вектора эта производная выражается в виде 3032-86.jpg

При переходе к др. системе координат это выражение остаётся неизменным, в чём проявляется инвариантный характер понятия касат. вектора и дифференцирования вдоль него. При дифференцировании произведения двух ф-цин выполняется правило Лейбница:

3032-87.jpg

Если в каждой точке 3032-88.jpg задан касат. вектор 3032-89.jpg то говорят, что на M задано векторное поле X. Если компоненты этого поля 3032-90.jpg являются гладкими ф-циями в любой карте из атласа, то векторное поле наз. дифференцируемым. Векторное поле X сопоставляет каждой ф-ции j на M новую ф-цию 3032-91.jpg со значениями 3032-92.jpg

Она наз. результатом дифференцирования ф-ции 3032-93.jpg вдоль векторного поля X.T. о., чтобы продифференцировать ф-цию вдоль векторного поля, нужно продифференцировать её вдоль каждого вектора 3032-94.jpg и полученные числа считать значениями новой ф-ции. При этом дифференцируемая ф-ция переводится гладким векторным полем в дифференцируемую, причём выполняется правило Лейбница

3032-95.jpg

Векторное поле X как инвариантный (не зависящий от выбора координат) объект часто отождествляют с оператором дифференцирования вдоль этого поля. В нек-рой координатной окрестности U этот оператор представляют в виде 3032-96.jpg При переходе к др. системе координат получается др. выражение 3032-97.jpg Однако на пересечении координатных окрестностей, 3032-98.jpg эти выражения совпадают благодаря закону преобразования компонент векторного поля 3032-99.jpgТакое совпадение является отражением геом. (инвариантного) характера векторного поля и соответствующего дифференциального оператора.

Дифференциальные операторы, соответствующие двум векторным полям X и Y, можно прокоммутировать, полученный оператор [X, Y]= XY- YХ снова является дифференциальным, т. е. соответствует нек-рому векторному полю. Это векторное поле наз. коммутатором исходных векторных полей, его компоненты в нек-рой системе координат равны

3032-100.jpg

Все (дифференцируемые) векторные поля образуют Ли алгебру относительно операции коммутирования.

Группы преобразований. Векторное поле X задаёт в каждой точке M. направление и скорость движения в этом направлении. Если двигаться в заданных направлениях с заданными скоростями, то все точки M. будут постепенно перемещаться, т. е. определяется семейство преобразований M., зависящее от параметра, 3032-101.jpg причём 3032-102.jpg, т. е. это семейство представляет собой однопараметрич. группу преобразований. В общем случае векторное поле определяет однопараметрич. группу преобразований лишь локально, т. е. в нек-рой окрестности каждой точки и для нек-рого интервала изменения параметра. Если группа определена глобально (на всём многообразии и для всех значений параметра), векторное поло наз. полным. На компактных M. все гладкие векторные поля являются полными.

Обратно, если задана однопараметрич. группа преобразований 3032-103.jpg то определяется векторное поле 3032-104.jpg Дифференцирование вдоль такого поля описывается ф-лой:

3032-105.jpg

Связь между векторным полем и группой преобразований можно выразить в виде 3032-106.jpg где X- дифференц. оператор, а экспонента определена разложением в ряд. В этой ф-ле оператор X выступает как генератор однопараметрич. группы преобразований.

Группа преобразований at определяет для каждой точки 3032-107.jpgкривую к-рая 3032-108.jpg проходит через эту точку и имеет в этой точке касат. вектор 3032-109.jpg T. о., на M. определяется семейство кривых, касательных к векторному полю X. В координатной окрестности U эти кривые являются решениями системы дифференц. ур-ний

3032-110.jpg

Если 3032-111.jpg- ф-ция на M, то на кривой 3032-112.jpg она превращается в ф-цию одного параметра,3032-113.jpg Зависимость от этого параметра описывается тогда дифференц. ур-нием 3032-114.jpg T. о., векторные поля позволяют инвариантным образом записывать дифференц. ур-ния на M.

Напр., фазовое пространство гамильтоновой системы с n степенями свободы представляет собой 2n -мерное M., в окрестности каждой точки к-рого можно ввести канонич. координаты 3032-115.jpg (обобщённые импульсы и обобщённые координаты). Разл. канонич. координаты связаны канонич. преобразованиями. Динамика системы задаётся ф-цией Гамильтона H, определённой на фазовом пространстве. Векторное поле в этом пространстве, к-рое в канонич. координатах имеет вид


3032-116.jpg


наз. гамильтоновым полем.

В каждой точке это поле касательно к интегральной кривой ур-ний Гамильтона, а соответствующая этому полю однопараметрич. группа преобразований фазового пространства,3032-117.jpgописывает эволюцию системы с точением времени. Если 3032-118.jpg- ф-ция на фазовом пространстве, то её изменение с течением времени описывается ур-нием 3032-119.jpg. Это ур-ние можно записать при помощи Пуассона скобок:



3032-120.jpg


Преобразование M. a естеств. образом определяет не только преобразование 3032-121.jpg ф-ций на этом M., но и преобразование 3032-122.jpg векторных полей. Если векторное поле X соответствует однопараметрич. группе преобразований 3032-123.jpgто повое поле 3032-124.jpgопределяется группой 3032-125.jpg. Можно определить это поле и непосредственно, 3032-126.jpgгде векторные поля справа и слева следует понимать как диффереиц. операторы в пространстве ф-ций.

Если векторное поле X порождено группой преобразований 3032-127.jpgто коммутатор двух векторных полей можно выразить через эту группу:

3032-128.jpg


Напр., пусть G - группа Ли (см. ГруппаRg, Lg - операторы (преобразования) правого и левого сдвигов на ней, 3032-129.jpg. Тогда каждой однопараметрич. подгруппе 3032-130.jpgв группе G соответствует однопараметрич. группа преобразований группы G, понимаемой как M.,3032-131.jpgЭта группа в свою очередь порождает векторное поле 3032-132.jpg инвариантное относительно левого сдвига (левоинвариант-ное), 3032-133.jpg Все такие поля образуют алгебру Ли, изоморфную алгебре Ли группы G. Другую реализацию алгебры Ли группы G образуют все правоинвариантные векторные поля, порождаемые группами преобразований 3032-134.jpg

Лит.: Номидзу К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. е англ., M., 1960; Бишоп Р., Криттенден Р., Геометрия многообразий, пер. с англ., M., 1967; Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., M., 1979; Дубровин Б. А., Hовиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., M., 1986; Шутц Б., Геометрические методы математической физики,

пер. с англ., M., 1984; Рихтмайер Р., Принципы современной математической физики, пер. с англ., т. 2, M., 1984.

M. Б. Менский.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Синонимы:

Антонимы:

Смотреть что такое "МНОГООБРАЗИЕ" в других словарях:

  • многообразие — многообразие …   Орфографический словарь-справочник

  • многообразие — разнообразие, разнообразность; полиморфия, многоликость, многообразность. Ant. однообразие Словарь русских синонимов. многообразие 1. многоликость 2. см. разнообразие Словарь синонимов русского язы …   Словарь синонимов

  • МНОГООБРАЗИЕ — МНОГООБРАЗИЕ, многообразия, мн. нет, ср. (книжн.). Множественность проявлений чего нибудь, форм обнаружения чего нибудь. Многообразие форм в природе. Многообразие явлений. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • МНОГООБРАЗИЕ — математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятия линии и поверхности, не содержащих особых точек (т. е. линии без точек самопересечения, концевых точек и т. п., поверхности без самопересечения, краев и т. п.) …   Большой Энциклопедический словарь

  • многообразие — МНОГООБРАЗНЫЙ, ая, ое; зен, зна. Существующий во многих видах и формах. Многообразные явления. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

  • многообразие — разнообразие ряд множество модификация разновидность — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы… …   Справочник технического переводчика

  • Многообразие — Многообразие  топологическое пространство, которое локально выглядит как «обычное» евклидово пространство . Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли. Возможно …   Википедия

  • многообразие — • большое многообразие • великое многообразие • исключительное многообразие • невиданное многообразие • огромное многообразие • поразительное многообразие • редкое многообразие • удивительное многообразие …   Словарь русской идиоматики

  • МНОГООБРАЗИЕ — геометрический объект, локально имеющий строение (топологическое, гладкое, гомологическое или иное) числового пространства или другого векторного пространства. Это фундаментальное понятие математики уточняет и обобщает на любое число измерений… …   Математическая энциклопедия

  • многообразие — я; ср. Проявление чего л. единого по своей сущности в различных видах и формах; разнообразие чего л. М. жизни. М. растительного и животного мира. М. минералов. М. запахов. М. рассматриваемых вопросов. * * * многообразие математическое понятие,… …   Энциклопедический словарь

Книги

Другие книги по запросу «МНОГООБРАЗИЕ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.