КВАТЕРНИОННАЯ СТРУКТУРА

- 1) К. с. на вещественном векторном пространстве V- структура модуля над телом кватернионов К, т. е. подалгебра H алгебры End Vэндоморфизмов пространства V, порожденная двумя антикоммутирующими комплексными структурами J₁, J₂ на пространстве V. Эндоморфизмы J₁, J₂ наз. стандартными образующими К. с. Н, а определяемый ими базис {id, J₁, J₂, J₃=J₁J₂ )алгебры H - стандартным базисом. Стандартный базис определен с точностью до автоморфизмов алгебры Н. Алгебра Низоморфна алгебре кватернионов. Автоморфизм Авекторного пространства Vназ. автоморфизмом К. с, если индуцированное им преобразование Ad Апространства автоморфизмов сохраняет Н, т. е. (Ad А) Н=АНА ^-1=Н. Если при этом на II индуцируется тождественный автоморфизм, то Аназ. специальным автоморфизмом К. с. Группа всех специальных, автоморфизмов К. с. изоморфна полной линейной группе GL(m,H) над телом Н, при этом 4m=dim V. Группа всех автоморфизмов К. с. изоморфна прямому произведению с объединенной подгруппой группы GL(m,H) и группы единичных кватернионов

2) К. с. на дифференцируемом многообразии- поле кватернионных структур на касательных пространствах, т. е. подрасслоение я : Н->М расслоения эндоморфизмов касательных пространств, слой к-рого суть К. с. на касательном пространстве Т _р М для любого рО М. Специальной К. с. наз. пара антикоммутирующих почти комплексных структур J₁, J₂ на многообразии М. Она порождает К. с. Н, где

К. с. H на многообразии Мпорождается нек-рой специальной К. с. тогда и только тогда, когда расслоение тривиально. К. с. на многообразии можно рассматривать как Sp (1)-GL(m, Н)-структуру, а специальную К. с.- как GL(m, Н)-структуру в смысле теории G-структур. Отсюда следует, что для существования на многообразии Мнек-рой К. с. (специальной К. с.) необходимо и достаточно, чтобы структурная группа его касательного расслоения редуцировалась к группе Sp(l)Sp(m) (соответственно, Sp(m)). Первое продолжение специальной К. с, рассматриваемой как GL(m, Н)-структура, есть е-структура (поле реперов), к-рая определяет каноническую линейную связность, ассоциированную со специальной К. с. Обращение в нуль кривизны и кручения этой связности является необходимым и достаточным условием того, чтобы специальная К. с. была локально эквивалентна стандартной плоской специальной К. с. на векторном пространстве R^4m.

Аналогом калерова многообразия для К. с. служит кватерн и о иное риманово многообразие. Оно определяется как риманово многообразие Мразмерности 4т, группа голономии Г к-рого содержится в группе Если то кватернионное риманово многообразие наз. специальным, или кватерн ионным кэлеровым, многообразием и при m>1 имеет нулевую кривизну Риччи. Кватернпонное риманово многообразие можно охарактеризовать как риманово многообразие М, в к-ром существует К. с. Н, инвариантная относительно параллельного переноса Леви-Чивиты. Аналогично, специальное кватернионное риманово многообразие есть риманово многообразие, в к-ром существует специальная К. с. (J₁, J₂), инвариантная относительно параллельных переносов Леви-Чивиты: где С - оператор ковариантной производной связности Леви-Чивиты.

В кватернионном римановом многообразии существует каноническая параллельная 4-форма, к-рая определяет ряд операторов в кольце дифференциальных форм на М, перестановочных с оператором Бельтрами - Лапласа (оператор внешнего умножения, операторы свертки). Это позволяет построить содержательную теорию гармонических дифференциальных форм на кватернионных римановых многообразиях [2], аналогичную теории Ходжа на кэлеровых многообразиях, и получить оценки для чисел Бетти многообразия М. Все однородные специальные кватернионные римановы многообразия исчерпываются локально евклидовыми пространствами. Примером однородного кватернионного риманова многообразия, не являющегося специальным, служит кватернионное проективное пространство, а также другие симметрич. пространства Вольфа, к-рые находятся во взаимно однозначном соответствии с простыми компактными группами Ли без центра. Ими исчерпываются все компактные однородные кватернионные римановы многообразия. Широкий класс некомпактных несимметрических однородных кватернионных римановых многообразий строится с помощью модулей над алгеброй Клиффорда (см. [5]).

Лит.:[1] Сhern S. S., в кн.: Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz, N. Y., 1957, p. 103-21; [2] Кraines V. Y., "Trans. Amer. Math. Soc", 1966, v. 122, p. 357-67; [3] Janо К., Akо М., "J. of diff. geom.", 1973, v. 8, №3, p. 341 - 47; [4] Sоmmese A. J., "Math. Ann.", 1975, Bd 212, S. 191-214: [5] Алексеевcкий Д. В., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1975, т. 39, Кз2, с. 315-62; [6] Wо1f J. A., "J. Math, and Mech.", 1965, v. 14, №6, p. 1033-47; [7]Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 11, М., 1974, с. 37-123.

Д. В. Алексеевский.